Multigrid-Augmented Deep Learning Preconditioners for the Helmholtz Equation using Compact Implicit Layers

要約

我々は、高波数に対する離散不均一ヘルムホルツ方程式を解くための深層学習ベースの反復アプローチを提案します。
古典的な反復マルチグリッド ソルバーと畳み込みニューラル ネットワーク (CNN) を事前調整によって組み合わせることで、標準のマルチグリッド ソルバーよりも高速で拡張性に優れた学習型ニューラル ソルバーが得られます。
私たちのアプローチは、この種の以前のニューラル手法に対して 3 つの主な貢献を提供します。
まず、畳み込みカーネルが反転される、U-Net の最も粗いグリッド上の暗黙的層を使用して、マルチレベル U-Net のようなエンコーダー/ソルバー CNN を構築します。
これにより、CNN の視野の問題が軽減され、スケーラビリティが向上します。
2 番目に、パラメータの数、計算時間、収束率の点で以前の CNN プリコンディショナーを改良しました。
3 番目に、合理的なトレーニング手順を維持しながら、これまで見たことのない次元の問題にネットワークを拡張できるマルチスケール トレーニング アプローチを提案します。
当社のエンコーダ ソルバー アーキテクチャは、さまざまな困難のさまざまな速度モデルを一般化するために使用でき、速度モデルごとに多くの右辺を効率的に解決できます。
私たちは、高波数でのさまざまな不均質な 2 次元問題に関する数値実験により、新しいアーキテクチャの利点を実証します。

要約(オリジナル)

We present a deep learning-based iterative approach to solve the discrete heterogeneous Helmholtz equation for high wavenumbers. Combining classical iterative multigrid solvers and convolutional neural networks (CNNs) via preconditioning, we obtain a learned neural solver that is faster and scales better than a standard multigrid solver. Our approach offers three main contributions over previous neural methods of this kind. First, we construct a multilevel U-Net-like encoder-solver CNN with an implicit layer on the coarsest grid of the U-Net, where convolution kernels are inverted. This alleviates the field of view problem in CNNs and allows better scalability. Second, we improve upon the previous CNN preconditioner in terms of the number of parameters, computation time, and convergence rates. Third, we propose a multiscale training approach that enables the network to scale to problems of previously unseen dimensions while still maintaining a reasonable training procedure. Our encoder-solver architecture can be used to generalize over different slowness models of various difficulties and is efficient at solving for many right-hand sides per slowness model. We demonstrate the benefits of our novel architecture with numerical experiments on a variety of heterogeneous two-dimensional problems at high wavenumbers.

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