Simple, unified analysis of Johnson-Lindenstrauss with applications

要約

この研究では、高次元データの管理に不可欠な次元削減の分野の基礎であるジョンソン・リンデンシュトラウス (JL) 補題のシンプルで統一された分析を示します。
私たちのアプローチは理解を簡素化するだけでなく、球面、バイナリコイン、スパース JL、ガウス モデル、サブガウス モデルなどのさまざまな構造を JL フレームワークに統合します。
この簡素化と統合により、ストリーミング アルゴリズムから強化学習に至るまで、さまざまなアプリケーションにわたって不可欠なデータの固有のジオメトリの保存が大幅に進歩しました。
特に、球面構成の有効性を初めて厳密に証明し、この単純化されたフレームワーク内でサブガウス構成の一般的なクラスを提供します。
私たちの貢献の核心は、明示的な定数を備えたハンソン・ライト不等式の高次元への革新的な拡張であり、文献における大幅な飛躍を示しています。
シンプルでありながら強力な確率ツールと、強化された対角化プロセスなどの分析手法を採用することで、私たちの分析は、JL​​ 補題の理論的基礎を強固にするだけでなく、その実用的な範囲を拡張し、現代の計算アルゴリズムにおけるその適応性と重要性を示します。

要約(オリジナル)

In this work, we present a simple and unified analysis of the Johnson-Lindenstrauss (JL) lemma, a cornerstone in the field of dimensionality reduction critical for managing high-dimensional data. Our approach not only simplifies the understanding but also unifies various constructions under the JL framework, including spherical, binary-coin, sparse JL, Gaussian and sub-Gaussian models. This simplification and unification make significant strides in preserving the intrinsic geometry of data, essential across diverse applications from streaming algorithms to reinforcement learning. Notably, we deliver the first rigorous proof of the spherical construction’s effectiveness and provide a general class of sub-Gaussian constructions within this simplified framework. At the heart of our contribution is an innovative extension of the Hanson-Wright inequality to high dimensions, complete with explicit constants, marking a substantial leap in the literature. By employing simple yet powerful probabilistic tools and analytical techniques, such as an enhanced diagonalization process, our analysis not only solidifies the JL lemma’s theoretical foundation but also extends its practical reach, showcasing its adaptability and importance in contemporary computational algorithms.

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