Simplicial Convolutional Filters

要約

私たちは、単純な複素数としてモデル化された抽象的な位相空間でサポートされる信号を処理するための線形フィルターを研究します。これは、ノード、エッジ、三角形の面などを考慮したグラフの一般化として解釈できます。そのような信号を処理するために、行列多項式として定義される単純な畳み込みフィルターを開発します。
下部および上部ホッジ ラプラシアンの。
まず、これらのフィルターの特性を調べ、それらが線形でシフト不変であり、順列と方向が等変であることを示します。
これらのフィルターは、上下の隣接する単純間の単純シフトのみ (複数ラウンド) を必要とするため、計算の複雑さが低い分散方式で実装することもできます。
次に、エッジ フローに焦点を当て、これらのフィルターの周波数応答を研究し、ホッジ分解を使用して勾配、カール、および高調波周波数を描写する方法を検討します。
これらの周波数がそれぞれ下位および上位の隣接カップリングとホッジ ラプラシアンのカーネルにどのように対応し、フィルター設計によって独立して調整できるかについて説明します。
第三に、単純な畳み込みフィルタを設計するためのさまざまな手順を検討し、それらの相対的な利点について説明します。
最後に、単純信号のさまざまな周波数成分の抽出、エッジ フローのノイズ除去、金融市場と交通ネットワークの分析など、いくつかのアプリケーションで単純フィルターを検証します。

要約(オリジナル)

We study linear filters for processing signals supported on abstract topological spaces modeled as simplicial complexes, which may be interpreted as generalizations of graphs that account for nodes, edges, triangular faces etc. To process such signals, we develop simplicial convolutional filters defined as matrix polynomials of the lower and upper Hodge Laplacians. First, we study the properties of these filters and show that they are linear and shift-invariant, as well as permutation and orientation equivariant. These filters can also be implemented in a distributed fashion with a low computational complexity, as they involve only (multiple rounds of) simplicial shifting between upper and lower adjacent simplices. Second, focusing on edge-flows, we study the frequency responses of these filters and examine how we can use the Hodge-decomposition to delineate gradient, curl and harmonic frequencies. We discuss how these frequencies correspond to the lower- and the upper-adjacent couplings and the kernel of the Hodge Laplacian, respectively, and can be tuned independently by our filter designs. Third, we study different procedures for designing simplicial convolutional filters and discuss their relative advantages. Finally, we corroborate our simplicial filters in several applications: to extract different frequency components of a simplicial signal, to denoise edge flows, and to analyze financial markets and traffic networks.

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