On the Exponential Growth of Geometric Shapes

要約

この論文では、幾何学的構造を指数関数的に高速に成長させる方法を検討します。
研究されたプロセスは、初期形状から開始され、一連の集中成長操作を適用して他の形状を成長させます。
初期形状が単一のノードのみである場合に焦点を当てます。
形状をこれほど高速で成長させる場合の技術的な課題は、形状が壊れたり、伸びたり、自己交差したりするときに発生する衝突を回避する必要があることです。
形状の特定の部分内の転換点の数を表すパラメーター $k$ を特定します。
新しいノードを生成するときにのみエッジが形成され、削除できない場合、すべての根から葉の経路に $O(k)$ の転換点を持つ木が $O(k\log n)$ で成長できることを証明します。
$O(\log n)$ の転換点を持つタイム ステップとスパイラルは、$O(\log n)$ タイム ステップで成長できます。$n$ は最終形状のサイズです。
この場合、木の根から葉への経路における転換点の最大数が、その木を成長させる時間ステップ数の下限であり、次のような経路のクラスが存在することも示します。
$\Omega(k)$ ターニングポイントのあるクラス内のパスは、$\Omega(k\log k)$ 時間ステップを増やす必要があります。
ノードが隣接するとすぐに追加接続できる場合、形状 $S$ がすべての根から葉へのパス上に $O(k)$ 転換点を持つスパニング ツリーを持っている場合、$ の隣接閉包が成立することを証明します。
S$ は $O(k \log n)$ 時間ステップで増加できます。
私たちが研究した最も強力なモデルでは、エッジを削除し、隣接するノードを新しく生成されたノードに引き渡すことができ、普遍的なアルゴリズムが得られます。どのような形状の $S$ に対しても、単一のノードから $S$ が指数関数的に増加するプロセスが得られます。
速い。

要約(オリジナル)

In this paper, we explore how geometric structures can be grown exponentially fast. The studied processes start from an initial shape and apply a sequence of centralized growth operations to grow other shapes. We focus on the case where the initial shape is just a single node. A technical challenge in growing shapes that fast is the need to avoid collisions caused when the shape breaks, stretches, or self-intersects. We identify a parameter $k$, representing the number of turning points within specific parts of a shape. We prove that, if edges can only be formed when generating new nodes and cannot be deleted, trees having $O(k)$ turning points on every root-to-leaf path can be grown in $O(k\log n)$ time steps and spirals with $O(\log n)$ turning points can be grown in $O(\log n)$ time steps, $n$ being the size of the final shape. For this case, we also show that the maximum number of turning points in a root-to-leaf path of a tree is a lower bound on the number of time steps to grow the tree and that there exists a class of paths such that any path in the class with $\Omega(k)$ turning points requires $\Omega(k\log k)$ time steps to be grown. If nodes can additionally be connected as soon as they become adjacent, we prove that if a shape $S$ has a spanning tree with $O(k)$ turning points on every root-to-leaf path, then the adjacency closure of $S$ can be grown in $O(k \log n)$ time steps. In the strongest model that we study, where edges can be deleted and neighbors can be handed over to newly generated nodes, we obtain a universal algorithm: for any shape $S$ it gives a process that grows $S$ from a single node exponentially fast.

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