Solution of the Probabilistic Lambert Problem: Connections with Optimal Mass Transport, Schrödinger Bridge and Reaction-Diffusion PDEs

要約

ランバートの問題は、重力場の影響を受ける速度制御を介して、所定の飛行時間内に宇宙船を所定の初期位置から所定の終端位置まで移動させることに関するものである。
位置ベクトルの終点制約の知識がそれぞれの結合確率密度関数の知識に置き換えられる、ランバート問題の確率論的変形を検討します。
我々は、エンドポイント結合確率密度制約を伴うランバート問題が一般化最適質量輸送 (OMT) 問題であることを示し、それによってこの古典的な天文力学の問題を、現代の確率制御および確率的機械学習における急成長している研究分野と結びつけます。
この新たに発見された関係により、確率的ランバート問題の解の存在と一意性を厳密に確立することができます。
同じ接続は、拡散正則化による確率的ランバート問題の数値的解決にも役立ちます。つまり、OMT とシュレディンガー ブリッジ問題 (SBP) との接続をさらに活用することにより、確率的ランバート問題を数値的に解くことができます。
これは、加法的な動的プロセス ノイズを伴う確率的ランバート問題が実際には一般化された SBP であり、この研究で行うように、いわゆる Schr\’odinger 因子を使用して数値的に解決できることも示しています。
結果として得られる解析が、非線形重力ポテンシャルが反応速度として現れる反応拡散偏微分方程式の境界結合系の解法にどのようにつながるかを説明します。
我々は、そのための新しいアルゴリズムを提案し、例示的な数値結果を提示します。
私たちの分析とアルゴリズムの枠組みはノンパラメトリックです。つまり、統計的近似 (例: ガウス、最初の数モーメント、混合または指数関数族、十分な統計量の有限次元) も動的近似 (例: テイラー級数) も行いません。

要約(オリジナル)

Lambert’s problem concerns with transferring a spacecraft from a given initial to a given terminal position within prescribed flight time via velocity control subject to a gravitational force field. We consider a probabilistic variant of the Lambert problem where the knowledge of the endpoint constraints in position vectors are replaced by the knowledge of their respective joint probability density functions. We show that the Lambert problem with endpoint joint probability density constraints is a generalized optimal mass transport (OMT) problem, thereby connecting this classical astrodynamics problem with a burgeoning area of research in modern stochastic control and stochastic machine learning. This newfound connection allows us to rigorously establish the existence and uniqueness of solution for the probabilistic Lambert problem. The same connection also helps to numerically solve the probabilistic Lambert problem via diffusion regularization, i.e., by leveraging further connection of the OMT with the Schr\’odinger bridge problem (SBP). This also shows that the probabilistic Lambert problem with additive dynamic process noise is in fact a generalized SBP, and can be solved numerically using the so-called Schr\’odinger factors, as we do in this work. We explain how the resulting analysis leads to solving a boundary-coupled system of reaction-diffusion PDEs where the nonlinear gravitational potential appears as the reaction rate. We propose novel algorithms for the same, and present illustrative numerical results. Our analysis and the algorithmic framework are nonparametric, i.e., we make neither statistical (e.g., Gaussian, first few moments, mixture or exponential family, finite dimensionality of the sufficient statistic) nor dynamical (e.g., Taylor series) approximations.

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