BENO: Boundary-embedded Neural Operators for Elliptic PDEs

要約

楕円偏微分方程式 (PDE) は、時間に依存しない偏微分方程式の主要なクラスであり、流体力学、プラズマ物理学、固体力学などの多くの科学および工学分野で重要な役割を果たします。
最近、ニューラル演算子は、入力を解に直接マッピングすることにより、楕円偏微分方程式をより効率的に解く有望な手法として登場しました。
ただし、既存のネットワークは通常、現実世界に存在する複雑な形状や不均一な境界値を処理できません。
ここでは、楕円偏微分方程式の解法に複雑な幾何学形状と不均一な境界値を埋め込む新しいニューラル オペレーター アーキテクチャである境界埋め込みニューラル オペレーター (BENO) を紹介します。
古典的なグリーン関数からインスピレーションを得た BENO は、それぞれ内部ソース項と境界値に対するグラフ ニューラル ネットワーク (GNN) の 2 つのブランチで構成されています。
さらに、Transformer エンコーダは、グローバル境界ジオメトリを、GNN の各メッセージ パッシング層に影響を与える潜在ベクトルにマッピングします。
さまざまな境界条件を使用して、楕円偏微分方程式でモデルを広範囲にテストします。
既存のすべてのベースライン手法が解演算子の学習に失敗することを示します。
対照的に、境界埋め込みアーキテクチャを備えた私たちのモデルは、最先端のニューラル オペレーターと強力なベースラインを平均 60.96\% 上回っています。
私たちのソース コードは https://github.com/AI4Science-WestlakeU/beno.git にあります。

要約(オリジナル)

Elliptic partial differential equations (PDEs) are a major class of time-independent PDEs that play a key role in many scientific and engineering domains such as fluid dynamics, plasma physics, and solid mechanics. Recently, neural operators have emerged as a promising technique to solve elliptic PDEs more efficiently by directly mapping the input to solutions. However, existing networks typically cannot handle complex geometries and inhomogeneous boundary values present in the real world. Here we introduce Boundary-Embedded Neural Operators (BENO), a novel neural operator architecture that embeds the complex geometries and inhomogeneous boundary values into the solving of elliptic PDEs. Inspired by classical Green’s function, BENO consists of two branches of Graph Neural Networks (GNNs) for interior source term and boundary values, respectively. Furthermore, a Transformer encoder maps the global boundary geometry into a latent vector which influences each message passing layer of the GNNs. We test our model extensively in elliptic PDEs with various boundary conditions. We show that all existing baseline methods fail to learn the solution operator. In contrast, our model, endowed with boundary-embedded architecture, outperforms state-of-the-art neural operators and strong baselines by an average of 60.96\%. Our source code can be found https://github.com/AI4Science-WestlakeU/beno.git.

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