Probabilistic Exponential Integrators

要約

確率ソルバーは、動的システムにおけるシミュレーション、不確実性の定量化、および推論のための柔軟で効率的なフレームワークを提供します。
ただし、標準ソルバーと同様に、数値精度の理由ではなく安定性のために小さなステップが必要な特定の硬いシステムでは、パフォーマンスが低下します。
この問題は、この論文で開発された確率的指数積分器によって半線形問題で大幅に軽減されます。
事前計算に高速な線形ダイナミクスを含めることにより、有利な特性を持つ確率的積分器のクラスに到達します。
つまり、それらは L 安定であることが証明されており、特定の場合には古典的な指数積分器に還元されます。さらに、数値誤差の確率論的な説明が得られるという利点もあります。
この方法は、以前の推定値でベクトル場のヤコビアンを介して事前に区分的半線形性を課すことにより、任意の非線形システムにも一般化され、その結果、確率的指数関数的ローゼンブロック法が得られます。
提案された手法を複数の剛微分方程式で評価し、確立された確率ソルバーよりも安定性と効率が向上していることを実証します。
したがって、今回の貢献により、確率的数値の範囲内で効果的に取り組むことができる問題の範囲が拡大します。

要約(オリジナル)

Probabilistic solvers provide a flexible and efficient framework for simulation, uncertainty quantification, and inference in dynamical systems. However, like standard solvers, they suffer performance penalties for certain stiff systems, where small steps are required not for reasons of numerical accuracy but for the sake of stability. This issue is greatly alleviated in semi-linear problems by the probabilistic exponential integrators developed in this paper. By including the fast, linear dynamics in the prior, we arrive at a class of probabilistic integrators with favorable properties. Namely, they are proven to be L-stable, and in a certain case reduce to a classic exponential integrator — with the added benefit of providing a probabilistic account of the numerical error. The method is also generalized to arbitrary non-linear systems by imposing piece-wise semi-linearity on the prior via Jacobians of the vector field at the previous estimates, resulting in probabilistic exponential Rosenbrock methods. We evaluate the proposed methods on multiple stiff differential equations and demonstrate their improved stability and efficiency over established probabilistic solvers. The present contribution thus expands the range of problems that can be effectively tackled within probabilistic numerics.

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