Physics-Informed Graph Convolutional Networks: Towards a generalized framework for complex geometries

要約

[9] とその物理情報に基づいたニューラル ネットワーク (PINN) の独創的な研究以来、深層学習モデルを使用して偏微分方程式 (PDE) を解くことに向けて多くの努力が行われてきました。
ただし、そのようなモデルを複雑な 3 次元形状に拡張したり、そのようなアプローチを古典的な数値ソルバーにどのように組み合わせることができるかに関する研究など、いくつかの課題が残っています。
この研究では、これらのアーキテクチャと偏微分方程式を解くための従来の数値手法で使用されるメッシュとの類似性に基づいて、これらの問題に対してグラフ ニューラル ネットワークを使用することを正当化します。
複雑なジオメトリに対する Physics-Informed フレームワークの問題を証明した後、PDE 残差の計算中に、古典的な数値ソルバーと Physics-Informed フレームワークを組み合わせた代替手順が提案されます。
最後に、不規則な幾何学上の 3 次元の問題でテストする、このアプローチの実装を提案します。

要約(オリジナル)

Since the seminal work of [9] and their Physics-Informed neural networks (PINNs), many efforts have been conducted towards solving partial differential equations (PDEs) with Deep Learning models. However, some challenges remain, for instance the extension of such models to complex three-dimensional geometries, and a study on how such approaches could be combined to classical numerical solvers. In this work, we justify the use of graph neural networks for these problems, based on the similarity between these architectures and the meshes used in traditional numerical techniques for solving partial differential equations. After proving an issue with the Physics-Informed framework for complex geometries, during the computation of PDE residuals, an alternative procedure is proposed, by combining classical numerical solvers and the Physics-Informed framework. Finally, we propose an implementation of this approach, that we test on a three-dimensional problem on an irregular geometry.

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