Estimation of entropy-regularized optimal transport maps between non-compactly supported measures

要約

この論文では、サブガウスであるソース測定値とターゲット測定値の間の二乗ユークリッド コストを使用してエントロピー正則化最適輸送 (EOT) マップを推定する問題を扱います。
ターゲット測度がコンパクトにサポートされているか、または強く対数凹である場合、最近提案されたサンプル内推定量では、期待される二乗 $L^2$ 誤差が少なくとも $O(n^{
-1/3})$ ここで、$n$ はサンプル サイズです。
一般的なサブガウスの場合では、予想される $L^1$ 誤差が少なくとも $O(n^{-1/6})$ と同じ速さで減衰することを示し、どちらの場合も正則化パラメータに多項式依存性があります。
これらの結果は、ソースとターゲットの両方の測定値がコンパクトである場合 ($O(n^{-1})$ のレートで収束する二乗 $L^2$-誤差) や、
ソースはサブガウスですが、ターゲットはコンパクトにサポートされています (二乗 $L^2$-誤差は $O(n^{-1/2})$ のレートで収束します)。その重要性は、コンパクト サポート要件を排除することにあります。
この証明手法では、バイアス分散分解を使用します。この場合、分散は測定結果の標準濃度を使用して制御され、バイアスは、サブガウス仮定の下で EOT コストを推定する際のサンプルの複雑さの結果とともに T1 輸送不等式によって処理されます。
私たちの実験結果は、分散項の制御が緩いことを指摘しており、いくつかの未解決の問題を提起することで結論付けています。

要約(オリジナル)

This paper addresses the problem of estimating entropy-regularized optimal transport (EOT) maps with squared-Euclidean cost between source and target measures that are subGaussian. In the case that the target measure is compactly supported or strongly log-concave, we show that for a recently proposed in-sample estimator, the expected squared $L^2$-error decays at least as fast as $O(n^{-1/3})$ where $n$ is the sample size. For the general subGaussian case we show that the expected $L^1$-error decays at least as fast as $O(n^{-1/6})$, and in both cases we have polynomial dependence on the regularization parameter. While these results are suboptimal compared to known results in the case of compactness of both the source and target measures (squared $L^2$-error converging at a rate $O(n^{-1})$) and for when the source is subGaussian while the target is compactly supported (squared $L^2$-error converging at a rate $O(n^{-1/2})$), their importance lie in eliminating the compact support requirements. The proof technique makes use of a bias-variance decomposition where the variance is controlled using standard concentration of measure results and the bias is handled by T1-transport inequalities along with sample complexity results in estimation of EOT cost under subGaussian assumptions. Our experimental results point to a looseness in controlling the variance terms and we conclude by posing several open problems.

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