Distance Measures for Geometric Graphs

要約

幾何学的グラフは、ユークリッド空間への埋め込みから継承された幾何学を備えた組み合わせグラフです。
このような 2 つの幾何学的グラフの組み合わせ構造と幾何学的構造の両方における (非) 類似性の意味のある尺度の定式化は、パターン認識における困難な問題です。
幾何学的編集距離 (GED) と幾何学的グラフ距離 (GGD) と呼ばれる、幾何学的グラフの距離測度の 2 つの概念を研究します。
前者は 1 つのグラフを編集して別のグラフに変換するというアイデアに基づいていますが、後者はグラフの不正確な一致に着想を得ています。
何十年もの間、どちらの概念も、属性付きグラフ間の類似性の尺度として十分に役立ってきました。
しかし、何も変更せずに使用すると、幾何学的グラフに意味のある距離の尺度を提供できなくなります。メトリックでなくなることさえあります。
幾何学的グラフのコンテキストのために、関連するコスト関数をキュレートしました。
GED と GGD のメトリック プロパティを調べるとともに、2 つの概念がどのように比較されるかを調べます。
グラフが平面で任意のコスト係数が許可されている場合でも、距離を計算するのは $\mathcal{NP}$ 難しいことを示すことで、GGD の計算面の理解を深めます。

要約(オリジナル)

A geometric graph is a combinatorial graph, endowed with a geometry that is inherited from its embedding in a Euclidean space. Formulation of a meaningful measure of (dis-)similarity in both the combinatorial and geometric structures of two such geometric graphs is a challenging problem in pattern recognition. We study two notions of distance measures for geometric graphs, called the geometric edit distance (GED) and geometric graph distance (GGD). While the former is based on the idea of editing one graph to transform it into the other graph, the latter is inspired by inexact matching of the graphs. For decades, both notions have been lending themselves well as measures of similarity between attributed graphs. If used without any modification, however, they fail to provide a meaningful distance measure for geometric graphs — even cease to be a metric. We have curated their associated cost functions for the context of geometric graphs. Alongside studying the metric properties of GED and GGD, we investigate how the two notions compare. We further our understanding of the computational aspects of GGD by showing that the distance is $\mathcal{NP}$-hard to compute, even if the graphs are planar and arbitrary cost coefficients are allowed.

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