Average degree of the essential variety

要約

本質的な変種は、実射影空間 $\mathbb R\mathrm P^{8}$ における次元 $5$ の代数部分変種であり、これは 2 つの校正されたピンホール カメラの相対姿勢を符号化します。
コンピューター ビジョンの $5$ ポイント アルゴリズムは、本質的な多様性と共次元 $5$ の線形空間の交点の実数ポイントを計算します。
本質多様性の次数は $10$ であるため、この交点は一般に 10 個の複素点で構成されます。
線形空間がランダムな場合に実際の交点の予想数を計算します。
線形空間の 2 つの確率分布に焦点を当てます。
最初の分布は、$\mathbb R\mathrm P^{8}$ の線形空間に作用する直交群 $\mathrm{O}(9)$ の作用の下では不変です。
この場合、予想される実際の交点の数は $4$ に等しくなります。
2 番目の分布はコンピューター ビジョンに基づいており、画像平面 $\mathbb R\mathrm P^2\times \mathbb R\mathrm P^2$ 内の 5 つの点対応を均一にランダムに選択することによって定義されます。
モンテカルロ計算によると、高い確率で期待値は $(3.95 – 0.05,\ 3.95 + 0.05)$ の範囲内にあります。

要約(オリジナル)

The essential variety is an algebraic subvariety of dimension $5$ in real projective space $\mathbb R\mathrm P^{8}$ which encodes the relative pose of two calibrated pinhole cameras. The $5$-point algorithm in computer vision computes the real points in the intersection of the essential variety with a linear space of codimension $5$. The degree of the essential variety is $10$, so this intersection consists of 10 complex points in general. We compute the expected number of real intersection points when the linear space is random. We focus on two probability distributions for linear spaces. The first distribution is invariant under the action of the orthogonal group $\mathrm{O}(9)$ acting on linear spaces in $\mathbb R\mathrm P^{8}$. In this case, the expected number of real intersection points is equal to $4$. The second distribution is motivated from computer vision and is defined by choosing 5 point correspondences in the image planes $\mathbb R\mathrm P^2\times \mathbb R\mathrm P^2$ uniformly at random. A Monte Carlo computation suggests that with high probability the expected value lies in the interval $(3.95 – 0.05,\ 3.95 + 0.05)$.

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