Factor Fitting, Rank Allocation, and Partitioning in Multilevel Low Rank Matrices

要約

行列の合計の行と列の置換として定義されるマルチレベル低ランク (MLR) 行列を検討します。各行列は前のブロックの対角洗練であり、すべてのブロックの低ランクは因数分解された形式で与えられます。
MLR 行列は低ランクの行列を拡張しますが、必要な総ストレージ容量や行列とベクトルの乗算の複雑さなど、多くのプロパティを共有します。
フロベニウス ノルムの MLR 行列によって特定の行列をフィッティングする際に生じる 3 つの問題に対処します。
最初の問題は係数フィッティングです。ここでは、MLR 行列の係数を調整します。
2 つ目はランク割り当てです。ここでは、指定された値を持つ合計ランクを条件として、各レベルのブロックのランクを選択します。これにより、MLR 行列に必要な合計ストレージが維持されます。
最後の問題は、行と列の階層パーティション、およびランクと因子を選択することです。
この文書には、提案された方法を実装するオープンソース パッケージが付属しています。

要約(オリジナル)

We consider multilevel low rank (MLR) matrices, defined as a row and column permutation of a sum of matrices, each one a block diagonal refinement of the previous one, with all blocks low rank given in factored form. MLR matrices extend low rank matrices but share many of their properties, such as the total storage required and complexity of matrix-vector multiplication. We address three problems that arise in fitting a given matrix by an MLR matrix in the Frobenius norm. The first problem is factor fitting, where we adjust the factors of the MLR matrix. The second is rank allocation, where we choose the ranks of the blocks in each level, subject to the total rank having a given value, which preserves the total storage needed for the MLR matrix. The final problem is to choose the hierarchical partition of rows and columns, along with the ranks and factors. This paper is accompanied by an open source package that implements the proposed methods.

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