VaR\ and CVaR Estimation in a Markov Cost Process: Lower and Upper Bounds

要約

私たちは、マルコフコストプロセス内の無限地平線割引コストのバリューアットリスク（VaR）と条件付きバリューアットリスク（CVaR）を推定する問題に取り組みます。
まず、予想される意味と確率的な意味の両方で成立する $\Omega(1/\sqrt{n})$ のミニマックス下限を導出します。
次に、有限水平切り捨てスキームを使用して、CVaR 推定の誤差の上限を導出します。これは、定数係数までの下限と一致します。
最後に、特定の継続性基準を満たす、より一般的なリスク尺度（スペクトル リスク尺度、公共事業ベースの不足リスクなど）をカバーする推定スキームの拡張について説明します。
私たちの知る限り、私たちの研究は、マルコフ設定内のリスク尺度の推定誤差の下限と上限を初めて提供しました。
下限は無限の地平線で割引されたコストの平均にも及ぶことに注意してください。
その場合でも、結果 $\Omega(1/\sqrt{n}) $ は既存の結果 $\Omega(1/n)$[13] よりも改善されています。

要約(オリジナル)

We tackle the problem of estimating the Value-at-Risk (VaR) and the Conditional Value-at-Risk (CVaR) of the infinite-horizon discounted cost within a Markov cost process. First, we derive a minimax lower bound of $\Omega(1/\sqrt{n})$ that holds both in an expected and in a probabilistic sense. Then, using a finite-horizon truncation scheme, we derive an upper bound for the error in CVaR estimation, which matches our lower bound up to constant factors. Finally, we discuss an extension of our estimation scheme that covers more general risk measures satisfying a certain continuity criterion, e.g., spectral risk measures, utility-based shortfall risk. To the best of our knowledge, our work is the first to provide lower and upper bounds on the estimation error for any risk measure within Markovian settings. We remark that our lower bounds also extend to the infinite-horizon discounted costs’ mean. Even in that case, our result $\Omega(1/\sqrt{n}) $ improves upon the existing result $\Omega(1/n)$[13].

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