Stochastic Quantum Sampling for Non-Logconcave Distributions and Estimating Partition Functions

要約

$\pi(x) \propto \exp(-\beta f(x))$ の形式で非対数凹確率分布からサンプリングするための量子アルゴリズムを提示します。
ここで、$f$ は有限和 $f(x):= \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N f_k(x)$ として書くことができます。
私たちのアプローチは、未調整のランジュバン アルゴリズムから導出されたゆっくりと変化するマルコフ連鎖に対する量子シミュレーテッド アニーリングに基づいており、混合モデリングや多重安定システムにおける大規模なデータセットに対して計算コストがかかる可能性がある関数評価の必要性を排除します。
また、ミニバッチ勾配のみを使用して量子ウォーク演算子を不正確に実装する確率的勾配オラクルも組み込みます。
その結果、確率的勾配ベースのアルゴリズムは、量子ウォークの実装時にデータ ポイントの小さなサブセットのみにアクセスします。
結果として得られるマルコフ連鎖を量子化する際の 1 つの課題は、一般に詳細なバランス条件を満たさないことです。
その結果、アルゴリズムの混合時間を遷移密度のスペクトル ギャップで表すことができず、量子アルゴリズムの解析が困難になります。
これらの課題を克服するために、まず可逆的であり、ターゲット分布に収束する仮説的なマルコフ連鎖を構築します。
次に、この仮説チェーンを架け橋として使用して、アルゴリズムの出力とターゲット分布の間の距離を定量化し、全体の複雑さを確立しました。
当社の量子アルゴリズムは、最もよく知られている古典的なアルゴリズムと比較した場合、次元と精度の依存性の両方の点で多項式の高速化を示します。

要約(オリジナル)

We present quantum algorithms for sampling from non-logconcave probability distributions in the form of $\pi(x) \propto \exp(-\beta f(x))$. Here, $f$ can be written as a finite sum $f(x):= \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N f_k(x)$. Our approach is based on quantum simulated annealing on slowly varying Markov chains derived from unadjusted Langevin algorithms, removing the necessity for function evaluations which can be computationally expensive for large data sets in mixture modeling and multi-stable systems. We also incorporate a stochastic gradient oracle that implements the quantum walk operators inexactly by only using mini-batch gradients. As a result, our stochastic gradient based algorithm only accesses small subsets of data points in implementing the quantum walk. One challenge of quantizing the resulting Markov chains is that they do not satisfy the detailed balance condition in general. Consequently, the mixing time of the algorithm cannot be expressed in terms of the spectral gap of the transition density, making the quantum algorithms nontrivial to analyze. To overcome these challenges, we first build a hypothetical Markov chain that is reversible, and also converges to the target distribution. Then, we quantified the distance between our algorithm’s output and the target distribution by using this hypothetical chain as a bridge to establish the total complexity. Our quantum algorithms exhibit polynomial speedups in terms of both dimension and precision dependencies when compared to the best-known classical algorithms.

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