Coarse-Graining Hamiltonian Systems Using WSINDy

要約

Weak-form Sparse Identification of Nonlinear Dynamics アルゴリズム (WSINDy) は、相互作用する粒子システムのコンテキストで粗視化機能を提供することが実証されています ( https://doi.org/10.1016/j.physd.2022.133406 )。
この研究では、この機能を、ほぼ対称性を持つ粗視化ハミルトニアン ダイナミクスの問題に拡張します。
このような近似的な対称性により、多くの場合、関連する自由度のダイナミクスを効率的に捉えるために使用できる、次元を削減したハミルトニアン システムが存在します。
このような縮小システムを導き出すこと、またはそれらを数値的に近似することは、継続的な課題です。
我々は、対称性の不正確な性質と外部ノイズの両方から与えられる大きな摂動の存在下で、WSINDy がこの還元ハミルトニアン系を首尾よく識別できることを実証します。
これは、そのようなシステムが分析的に導出される自明ではない手段によって部分的に重要です。
WSINDy は、ハミルトニアン ベクトル場の試行ベースに制限することでハミルトニアン構造を自然に保存します。また、この方法論は計算効率が高く、多くの場合、完全な縮小ハミルトニアンを学習するために必要な軌道は 1 つだけであり、学習プロセスでの前方解決を回避します。
このようにして、弱形式方程式学習はハミルトニアン粗視化に特に適していると主張します。
ほぼ周期的なハミルトニアン系を近似対称性を持つ系の典型的なクラスとして使用し、WSINDy が元の $(2N)$ から次元 $2(N-1)$ または $N$ の正しい先行縮約系を確実に識別することを示します。
関連する自由度の観察に基づく – 次元システム。
物理的に関連する例、つまり結合振動子のダイナミクス、銀河内の恒星の運動に対するヘノン・ハイルズ系、および荷電粒子のダイナミクスを提供します。

要約(オリジナル)

The Weak-form Sparse Identification of Nonlinear Dynamics algorithm (WSINDy) has been demonstrated to offer coarse-graining capabilities in the context of interacting particle systems ( https://doi.org/10.1016/j.physd.2022.133406 ). In this work we extend this capability to the problem of coarse-graining Hamiltonian dynamics which possess approximate symmetries. Such approximate symmetries often lead to the existence of a Hamiltonian system of reduced dimension that may be used to efficiently capture the dynamics of the relevant degrees of freedom. Deriving such reduced systems, or approximating them numerically, is an ongoing challenge. We demonstrate that WSINDy can successfully identify this reduced Hamiltonian system in the presence of large perturbations imparted from both the inexact nature of the symmetry and extrinsic noise. This is significant in part due to the nontrivial means by which such systems are derived analytically. WSINDy naturally preserves the Hamiltonian structure by restricting to a trial basis of Hamiltonian vector fields, and the methodology is computational efficient, often requiring only a single trajectory to learn the full reduced Hamiltonian, and avoiding forward solves in the learning process. In this way, we argue that weak-form equation learning is particularly well-suited for Hamiltonian coarse-graining. Using nearly-periodic Hamiltonian systems as a prototypical class of systems with approximate symmetries, we show that WSINDy robustly identifies the correct leading-order reduced system of dimension $2(N-1)$ or $N$ from the original $(2N)$-dimensional system, upon observation of the relevant degrees of freedom. We provide physically relevant examples, namely coupled oscillator dynamics, the H\’enon-Heiles system for stellar motion within a galaxy, and the dynamics of charged particles.

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