A Fixed-Parameter Tractable Algorithm for Counting Markov Equivalence Classes with the same Skeleton

要約

Causal DAG (ベイジアン ネットワークとも呼ばれます) は、確率変数間の条件依存関係をエンコードするための一般的なツールです。
因果的 DAG では、確率変数は DAG 内の頂点としてモデル化され、すべての確率変数がその親に条件付けられた祖先から独立していることが規定されています。
ただし、確率変数の同じセット上の 2 つの異なる因果 DAG が、まったく同じ条件付き依存関係のセットをエンコードする可能性があります。
このような因果関係のある DAG はマルコフ等価であると言われ、マルコフ等価 DAG の同値クラスはマルコフ等価クラス (MEC) として知られています。
MEC の美しい組み合わせの特徴付けは、過去数十年で開発されてきました。特に、同じ MEC 内のすべての DAG は、同じ「スケルトン」（基礎となる無向グラフ）と v 構造（誘導サブグラフ）を持たなければならないことが知られています。
$a\rightarrow b \leftarrow c$ という形式)。
これらの組み合わせの特徴付けは、いくつかの自然なアルゴリズム上の疑問も示唆します。
その 1 つは、入力として無向グラフ $G$ が与えられた場合、スケルトン $G$ を持つ個別のマルコフ同値クラスはいくつあるか?というものです。
過去数年間、この問題やその他の密接に関連した問題に多くの研究が費やされてきました。
ただし、私たちの知る限り、この問題に対する多項式時間アルゴリズムは不明のままです。
この論文では、入力グラフ $G$ のツリー幅と最大次数をパラメータとして、上記の問題に対して扱いやすい固定パラメータ アルゴリズムを与えることで、この目標に向けて前進します。
私たちの研究における主な技術要素は、シャドウと呼ばれる構築です。これにより、MEC の組み合わせ特性によって課せられる長距離制約の「局所的記述」を作成できます。

要約(オリジナル)

Causal DAGs (also known as Bayesian networks) are a popular tool for encoding conditional dependencies between random variables. In a causal DAG, the random variables are modeled as vertices in the DAG, and it is stipulated that every random variable is independent of its ancestors conditioned on its parents. It is possible, however, for two different causal DAGs on the same set of random variables to encode exactly the same set of conditional dependencies. Such causal DAGs are said to be Markov equivalent, and equivalence classes of Markov equivalent DAGs are known as Markov Equivalent Classes (MECs). Beautiful combinatorial characterizations of MECs have been developed in the past few decades, and it is known, in particular that all DAGs in the same MEC must have the same ”skeleton” (underlying undirected graph) and v-structures (induced subgraph of the form $a\rightarrow b \leftarrow c$). These combinatorial characterizations also suggest several natural algorithmic questions. One of these is: given an undirected graph $G$ as input, how many distinct Markov equivalence classes have the skeleton $G$? Much work has been devoted in the last few years to this and other closely related problems. However, to the best of our knowledge, a polynomial time algorithm for the problem remains unknown. In this paper, we make progress towards this goal by giving a fixed parameter tractable algorithm for the above problem, with the parameters being the treewidth and the maximum degree of the input graph $G$. The main technical ingredient in our work is a construction we refer to as shadow, which lets us create a ‘local description” of long-range constraints imposed by the combinatorial characterizations of MECs.

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