Learning quantum Hamiltonians at any temperature in polynomial time

要約

局所量子ハミルトニアン$H$を、既知の逆温度$beta>0$におけるギブス状態$rho = e^{-beta H}/textrm{tr}(e^{-beta H})$のコピーから学習する問題を研究する。Anshu, Arunachalam, Kuwahara, and Soleimanifar (arXiv:2004.07266)は、$n$量子ビット上のハミルトニアンを、多項式的に多くのギブス状態のコピーだけで、精度$epsilon$まで学習するアルゴリズムを与えたが、指数関数的な時間がかかる。計算効率の良いアルゴリズムを得ることは、主要な未解決問題であった[Alhambra’22 (arXiv:2204.08349)]，[Anshu, Arunachalam’22 (arXiv:2204. 08349)]．08349)]。先行研究では、高温の場合[Haah, Kothari, Tang’21 (arXiv:2108.04842)]、あるいは通約項[Anshu, Arunachalam, Kuwahara, Soleimanifar’21]という限られた場合にしか解決されていない。我々はこの問題を完全に解決し、任意の定数$beta > 0$において、多項式に多くのギブス状態のコピーから精度$epsilon$に$H$を学習する多項式時間アルゴリズムを与える。 我々の主な技術的貢献は、指数関数に対する新しい平坦多項式近似と、多変量スカラー多項式と入れ子コミュテータ間の変換である。これにより、ハミルトン学習を多項式系として定式化することができる。そして、この多項式系の低次二乗和緩和を解くことで、ハミルトニアンを正確に学習できることを示す。

要約(オリジナル)

We study the problem of learning a local quantum Hamiltonian $H$ given copies of its Gibbs state $\rho = e^{-\beta H}/\textrm{tr}(e^{-\beta H})$ at a known inverse temperature $\beta>0$. Anshu, Arunachalam, Kuwahara, and Soleimanifar (arXiv:2004.07266) gave an algorithm to learn a Hamiltonian on $n$ qubits to precision $\epsilon$ with only polynomially many copies of the Gibbs state, but which takes exponential time. Obtaining a computationally efficient algorithm has been a major open problem [Alhambra’22 (arXiv:2204.08349)], [Anshu, Arunachalam’22 (arXiv:2204.08349)], with prior work only resolving this in the limited cases of high temperature [Haah, Kothari, Tang’21 (arXiv:2108.04842)] or commuting terms [Anshu, Arunachalam, Kuwahara, Soleimanifar’21]. We fully resolve this problem, giving a polynomial time algorithm for learning $H$ to precision $\epsilon$ from polynomially many copies of the Gibbs state at any constant $\beta > 0$. Our main technical contribution is a new flat polynomial approximation to the exponential function, and a translation between multi-variate scalar polynomials and nested commutators. This enables us to formulate Hamiltonian learning as a polynomial system. We then show that solving a low-degree sum-of-squares relaxation of this polynomial system suffices to accurately learn the Hamiltonian.

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