Approximation Guarantees for the Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II)

要約

最近の理論的研究により、母集団サイズが十分に大きい場合、NSGA-II が完全なパレート フロントを効率的に計算できることが示されました。
この研究では、母集団のサイズが小さい場合にパレート フロントにどの程度よく近似するかを研究します。
OneMinMax ベンチマークでは、親と子孫がパレート フロントを十分にカバーしているが、次の母集団のパレート フロントに大きなギャップがある状況を指摘します。
私たちの数学的証明は、この望ましくない動作の理由として、NSGA-II が選択段階で混雑距離を一度計算し、削除によって一部の個体の混雑距離が増加することを考慮せずに、混雑距離が最小の個体を削除していることを示唆しています。
次に、この問題が発生しにくい 2 つの亜種を分析します。
除去するたびに混雑距離を更新する NSGA-II (Kukkonen と Deb (2006)) と定常状態の NSGA-II (Nebro と Durillo (2009)) については、パレート フロントのギャップがこれ以上大きくなることがないことを証明します。
理論上の最小値よりも大きい小さな定数係数よりも大きい。
これは、NSGA-II の近似能力に関する最初の数学的研究であり、定常状態 NSGA-II の最初の実行時解析です。
実験では、2 つの NSGA-II バリアントの優れた近似能力も示されています。

要約(オリジナル)

Recent theoretical works have shown that the NSGA-II efficiently computes the full Pareto front when the population size is large enough. In this work, we study how well it approximates the Pareto front when the population size is smaller. For the OneMinMax benchmark, we point out situations in which the parents and offspring cover well the Pareto front, but the next population has large gaps on the Pareto front. Our mathematical proofs suggest as reason for this undesirable behavior that the NSGA-II in the selection stage computes the crowding distance once and then removes individuals with smallest crowding distance without considering that a removal increases the crowding distance of some individuals. We then analyze two variants not prone to this problem. For the NSGA-II that updates the crowding distance after each removal (Kukkonen and Deb (2006)) and the steady-state NSGA-II (Nebro and Durillo (2009)), we prove that the gaps in the Pareto front are never more than a small constant factor larger than the theoretical minimum. This is the first mathematical work on the approximation ability of the NSGA-II and the first runtime analysis for the steady-state NSGA-II. Experiments also show the superior approximation ability of the two NSGA-II variants.

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