A Note on Randomized Kaczmarz Algorithm for Solving Doubly-Noisy Linear Systems

要約

大規模な線形システム $Ax=b$ は実際に頻繁に発生し、効果的な反復ソルバーが必要です。
多くの場合、これらのシステムでは、操作エラーやデータ収集プロセスの欠陥が原因でノイズが発生します。
過去 10 年間、ランダム化 Kaczmarz (RK) アルゴリズムは、そのようなシステムの効率的な反復ソルバーとして広く研究されてきました。
ただし、ノイズ領域での RK の収束研究は限られており、右側ベクトル $b$ の測定ノイズを考慮します。
残念ながら、実際には常にそうなるとは限りません。
係数行列 $A$ にもノイズが含まれる可能性があります。
この論文では、係数行列 $A$ が加法ノイズと乗法ノイズの両方、およびノイズを含むベクトル $b$ によって破損した場合の、ノイズを含む線形システムの RK の収束を解析します。
私たちの分析では、量 $\チルダ R=\|
\tilde A^{\dagger} \|_2^2 \|\tilde A \|_F^2$ は RK の収束に影響を与えます。$\tilde A$ は $A$ のノイズの多いバージョンを表します。
ノイズのない係数行列 $A$ に関する情報を必要とせず、ノイズに関するさまざまな条件を考慮することで RK の収束を制御できるため、この分析は堅牢で現実的に適用可能であると主張します。
私たちは包括的な数値実験を実行することによって理論的発見を実証します。

要約(オリジナル)

Large-scale linear systems, $Ax=b$, frequently arise in practice and demand effective iterative solvers. Often, these systems are noisy due to operational errors or faulty data-collection processes. In the past decade, the randomized Kaczmarz (RK) algorithm has been studied extensively as an efficient iterative solver for such systems. However, the convergence study of RK in the noisy regime is limited and considers measurement noise in the right-hand side vector, $b$. Unfortunately, in practice, that is not always the case; the coefficient matrix $A$ can also be noisy. In this paper, we analyze the convergence of RK for noisy linear systems when the coefficient matrix, $A$, is corrupted with both additive and multiplicative noise, along with the noisy vector, $b$. In our analyses, the quantity $\tilde R=\| \tilde A^{\dagger} \|_2^2 \|\tilde A \|_F^2$ influences the convergence of RK, where $\tilde A$ represents a noisy version of $A$. We claim that our analysis is robust and realistically applicable, as we do not require information about the noiseless coefficient matrix, $A$, and considering different conditions on noise, we can control the convergence of RK. We substantiate our theoretical findings by performing comprehensive numerical experiments.

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