Differentially Private Partial Set Cover with Applications to Facility Location

要約

\citet{gupta2009fferentially} では、差分プライバシーの下では Set Cover 問題が強力な不可能性の結果をもたらすことが観察されました。
私たちの研究では、部分集合カバー問題に目を向けると、これらの硬さの結果が解消されることが観察されています。この問題では、宇宙の要素の $\rho$ 部分、つまり $\rho\in(0
,1)$。
この緩和により、不可能な結果を​​回避できることを示します。つまり、入力集合システムの緩い条件下で、非自明な近似保証を備えた明示的な集合カバーを出力する差分プライベート アルゴリズムを提供します。
特に、これは明示的なセット カバーを出力する最初の差分プライベート アルゴリズムです。
部分集合カバーのアルゴリズムをサブルーチンとして使用して、異常値を含む $k$-center/$k$-supplier を一般化する施設位置問題に対する差分プライベート (bicriteria) 近似アルゴリズムを提供します。
Set Cover 問題と同様、感度が高く不可能な結果のため、$k$-center/$k$-supplier タイプの施設位置問題に対して重要な保証を与えるアルゴリズムはありません。
私たちのアルゴリズムは、$\rho\in(0,1)$ について、人口の $\rho$ 部分のみにサービスを提供するようにカバー要件を緩和することで、固有の困難を回避できることを示しています。
全体として、私たちの研究は、プライベートな組み合わせ最適化における不可能な結果に取り組み、理解する上で重要なステップです。

要約(オリジナル)

It was observed in \citet{gupta2009differentially} that the Set Cover problem has strong impossibility results under differential privacy. In our work, we observe that these hardness results dissolve when we turn to the Partial Set Cover problem, where we only need to cover a $\rho$-fraction of the elements in the universe, for some $\rho\in(0,1)$. We show that this relaxation enables us to avoid the impossibility results: under loose conditions on the input set system, we give differentially private algorithms which output an explicit set cover with non-trivial approximation guarantees. In particular, this is the first differentially private algorithm which outputs an explicit set cover. Using our algorithm for Partial Set Cover as a subroutine, we give a differentially private (bicriteria) approximation algorithm for a facility location problem which generalizes $k$-center/$k$-supplier with outliers. Like with the Set Cover problem, no algorithm has been able to give non-trivial guarantees for $k$-center/$k$-supplier-type facility location problems due to the high sensitivity and impossibility results. Our algorithm shows that relaxing the covering requirement to serving only a $\rho$-fraction of the population, for $\rho\in(0,1)$, enables us to circumvent the inherent hardness. Overall, our work is an important step in tackling and understanding impossibility results in private combinatorial optimization.

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