Solving PDEs on Spheres with Physics-Informed Convolutional Neural Networks

要約

物理情報に基づいたニューラル ネットワーク (PINN) は、さまざまな実験的観点から偏微分方程式 (PDE) を解くのに効率的であることが実証されています。
最近の研究では、球を含む表面上の偏微分方程式に対する PINN アルゴリズムも提案されています。
しかし、PINN、特に表面または多様体上の PINN の数値的性能の理論的理解はまだ不足しています。
この論文では、球上の偏微分方程式を解くための物理情報に基づいた畳み込みニューラル ネットワーク (PICNN) の厳密な分析を確立します。
ディープ畳み込みニューラル ネットワークと球面調和解析の最新の近似結果を使用および改善することにより、ソボレフ ノルムに対する近似誤差の上限を証明します。
その後、これを革新的な位置推定の複雑さの分析と統合して、PICNN の高速収束速度を確立します。
私たちの理論的結果は実験によっても確認され、補足されています。
これらの発見を踏まえて、高次元偏微分方程式を解くときに生じる次元性の呪いを回避するための潜在的な戦略を探ります。

要約(オリジナル)

Physics-informed neural networks (PINNs) have been demonstrated to be efficient in solving partial differential equations (PDEs) from a variety of experimental perspectives. Some recent studies have also proposed PINN algorithms for PDEs on surfaces, including spheres. However, theoretical understanding of the numerical performance of PINNs, especially PINNs on surfaces or manifolds, is still lacking. In this paper, we establish rigorous analysis of the physics-informed convolutional neural network (PICNN) for solving PDEs on the sphere. By using and improving the latest approximation results of deep convolutional neural networks and spherical harmonic analysis, we prove an upper bound for the approximation error with respect to the Sobolev norm. Subsequently, we integrate this with innovative localization complexity analysis to establish fast convergence rates for PICNN. Our theoretical results are also confirmed and supplemented by our experiments. In light of these findings, we explore potential strategies for circumventing the curse of dimensionality that arises when solving high-dimensional PDEs.

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