Categorification of Negative Information using Enrichment

要約

多くのエンジニアリング用途では、「ネガティブな情報」について推論することが役立ちます。
たとえば、問題を計画する場合、最適な解決策を提供することは、実行可能な解決策 (「ポジティブ」な情報) を、与えられた解決策よりも優れた実現可能な解決策 (「ネガティブな」情報) は存在しないという事実の証明とともに提供することと同じです。
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射影のポジティブな情報とは対照的に、「ノルフィズム」の概念を導入することでネガティブな情報をモデル化します。
「ネイトゴリー」は、ホム集合に加えて「ノム」集合を持つカテゴリーであり、ノルフィズムと射の間の相互作用を指定します。
特に、射 + ノルフィズム $\to$ ノルフィズムの形式の合成規則があります。
ノルフィスムはそれ自体で作曲しません。
むしろ、射を触媒として使用します。
いくつかの応用例を提供した後、国家を充実した圏論に結び付けます。
具体的には、デ・パイバの弁証法カテゴリー GC で強化されたカテゴリー (C = Set で修正モノイド積を備えた場合) が、追加の規則性特性を満たす国家を定義することを証明します。
これにより、否定的射影と肯定的射影が市民と同等になるような方法で、否定的な情報がカテゴリー的に形式化されます。

要約(オリジナル)

In many engineering applications it is useful to reason about ‘negative information’. For example, in planning problems, providing an optimal solution is the same as giving a feasible solution (the ‘positive’ information) together with a proof of the fact that there cannot be feasible solutions better than the one given (the ‘negative’ information). We model negative information by introducing the concept of ‘norphisms’, as opposed to the positive information of morphisms. A ‘nategory’ is a category that has ‘nom’-sets in addition to hom-sets, and specifies the interaction between norphisms and morphisms. In particular, we have composition rules of the form morphism + norphism $\to$ norphism. Norphisms do not compose by themselves; rather, they use morphisms as catalysts. After providing several applied examples, we connect nategories to enriched category theory. Specifically, we prove that categories enriched in de Paiva’s dialectica categories GC, in the case C = Set and equipped with a modified monoidal product, define nategories which satisfy additional regularity properties. This formalizes negative information categorically in a way that makes negative and positive morphisms equal citizens.

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