Generative Modelling of Lévy Area for High Order SDE Simulation

要約

SDEsの解を数値シミュレーションする場合、O(￢sqrt{h}) (hはステップサイズ)以上の強い収束率を達成するには、一般に「L'{e}vy領域」と呼ばれるブラウン運動のある種の反復積分を使用する必要があることはよく知られている。しかしながら、これらの確率積分は、その非ガウス的性質のためにシミュレーションが困難であり、d＞2のd次元ブラウン運動に対して、高速なほぼ正確なサンプリングアルゴリズムは知られていない。 本論文では、L’｛e｝vyGANを提案する。L’｛e｝vyGANは、ブラウン運動の増分を条件としてL’｛e｝vy領域の近似サンプルを生成する深層学習ベースのモデルである。我々の「ブリッジ反転（Bridge-flipping）」操作により、出力サンプルは、全ての関節モーメントと条件付き奇モーメントに正確に一致する。我々の生成器は、出力分布と条件変数の間の正しい依存構造を強制する、GNNにインスパイアされたアーキテクチャを採用している。さらに、数学的に原理的な特性関数に基づく識別器を組み込んでいる。最後に、「Chen-training」と呼ばれる新しい学習メカニズムを導入し、高価な学習データセットの必要性を回避する。この新しい学習手順は、我々の2つの主要な理論的結果に支えられている。 4次元ブラウン運動に対して、L'{e}vyGANが、結合分布と周辺分布の両方を測定するいくつかの指標において、最先端の性能を示すことを示す。最後に、数理ファイナンスでよく使われるSDEであるlog-Hestonモデルに関する数値実験により、高品質な合成L'{e}vy領域が、マルチレベルモンテカルロ（MLMC）を用いた場合に、高次の弱い収束と分散の減少をもたらすことを示す。

要約(オリジナル)

It is well known that, when numerically simulating solutions to SDEs, achieving a strong convergence rate better than O(\sqrt{h}) (where h is the step size) requires the use of certain iterated integrals of Brownian motion, commonly referred to as its ‘L\'{e}vy areas’. However, these stochastic integrals are difficult to simulate due to their non-Gaussian nature and for a d-dimensional Brownian motion with d > 2, no fast almost-exact sampling algorithm is known. In this paper, we propose L\'{e}vyGAN, a deep-learning-based model for generating approximate samples of L\'{e}vy area conditional on a Brownian increment. Due to our ‘Bridge-flipping’ operation, the output samples match all joint and conditional odd moments exactly. Our generator employs a tailored GNN-inspired architecture, which enforces the correct dependency structure between the output distribution and the conditioning variable. Furthermore, we incorporate a mathematically principled characteristic-function based discriminator. Lastly, we introduce a novel training mechanism termed ‘Chen-training’, which circumvents the need for expensive-to-generate training data-sets. This new training procedure is underpinned by our two main theoretical results. For 4-dimensional Brownian motion, we show that L\'{e}vyGAN exhibits state-of-the-art performance across several metrics which measure both the joint and marginal distributions. We conclude with a numerical experiment on the log-Heston model, a popular SDE in mathematical finance, demonstrating that high-quality synthetic L\'{e}vy area can lead to high order weak convergence and variance reduction when using multilevel Monte Carlo (MLMC).

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