Implementations of the Universal Birkhoff Theory for Fast Trajectory Optimization

要約

これは2部構成の論文の第2部である。第1部では、高速で正確な軌道最適化のための普遍的なバーコフ理論を紹介した。この理論は2つの主要な仮説に基づいている。本論文では、計算グリッドを、Lobatto、Radau、Gaussなど、LegendreとChebyshevのノード点ファミリーのいずれかから選択した場合、結果として得られる軌道最適化手法のコレクションは、普遍的なBirkhoff理論が成立するために必要な仮説を満たすことを示す。これらの格子点は全て$mathcal{O}(1)$の計算速度で生成できる。さらに、Pontryaginの写像原理とCovectorの写像原理を併用することで、Birkhoffが生成したすべての解の最適性を検証することができる。さらに重要なことは、間接的な方法に頼ることなく、またポンリャギンの原理の適用から生じる完全な微分代数的境界値問題を明示的に生成することなく、最適性チェックを行うことができることである。数値問題を解くことにより、これらすべての考え方を説明する。(1)ギブス現象に悩まされることなく、バンバン最適制御が可能であること、(2)不連続な軌道、さらにはディラック・デルタ・コベクトル軌道をうまく近似できること、(3)高密度格子上の極値解を安定かつ効率的に計算できること、である。

要約(オリジナル)

This is part II of a two-part paper. Part I presented a universal Birkhoff theory for fast and accurate trajectory optimization. The theory rested on two main hypotheses. In this paper, it is shown that if the computational grid is selected from any one of the Legendre and Chebyshev family of node points, be it Lobatto, Radau or Gauss, then, the resulting collection of trajectory optimization methods satisfy the hypotheses required for the universal Birkhoff theory to hold. All of these grid points can be generated at an $\mathcal{O}(1)$ computational speed. Furthermore, all Birkhoff-generated solutions can be tested for optimality by a joint application of Pontryagin’s- and Covector-Mapping Principles, where the latter was developed in Part~I. More importantly, the optimality checks can be performed without resorting to an indirect method or even explicitly producing the full differential-algebraic boundary value problem that results from an application of Pontryagin’s Principle. Numerical problems are solved to illustrate all these ideas. The examples are chosen to particularly highlight three practically useful features of Birkhoff methods: (1) bang-bang optimal controls can be produced without suffering any Gibbs phenomenon, (2) discontinuous and even Dirac delta covector trajectories can be well approximated, and (3) extremal solutions over dense grids can be computed in a stable and efficient manner.

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