A Novel Tensor Decomposition of arbitrary order based on Block Convolution with Reflective Boundary Conditions for Multi-Dimensional Data Analysis

要約

テンソル分解は、多次元データをそのままの形式で分析するための強力なツールである。TuckerやCPのようなテンソル分解の他に、テンソルのt-積に基づくテンソルSVD(t-SVD)は、最近開発されたテンソルに対するSVDのもう一つの拡張であり、高次元データの分析に多くの応用を見出している。本論文では、t-積に対する新たな洞察を提供し、この積が周期的境界条件を持つ2つのテンソルのブロック畳み込みであることを示す。この視点に基づき、反射境界条件を持つブロック畳み込みに基づく$star_c}text{-Product}$と呼ばれる新しいテンソル-テンソル積を提案する。テンソルフレームワークを用いることで、この積は任意の次数のテンソルに容易に拡張できる。さらに、任意の次数のテンソルに対して、我々の$star_c{}text{-Product}$に基づくテンソル分解を導入する。t-SVDと比較して、我々の新しい分解は複雑性が低く、分類や圧縮などの応用において、より高品質な結果が得られることを実験により示す。

要約(オリジナル)

Tensor decompositions are powerful tools for analyzing multi-dimensional data in their original format. Besides tensor decompositions like Tucker and CP, Tensor SVD (t-SVD) which is based on the t-product of tensors is another extension of SVD to tensors that recently developed and has found numerous applications in analyzing high dimensional data. This paper offers a new insight into the t-Product and shows that this product is a block convolution of two tensors with periodic boundary conditions. Based on this viewpoint, we propose a new tensor-tensor product called the $\star_c{}\text{-Product}$ based on Block convolution with reflective boundary conditions. Using a tensor framework, this product can be easily extended to tensors of arbitrary order. Additionally, we introduce a tensor decomposition based on our $\star_c{}\text{-Product}$ for arbitrary order tensors. Compared to t-SVD, our new decomposition has lower complexity, and experiments show that it yields higher-quality results in applications such as classification and compression.

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