PT$\mathrm{L}^{p}$: Partial Transport $\mathrm{L}^{p}$ Distances

要約

最適な輸送とその関連問題 (最適な部分輸送を含む) は、確率または肯定的な尺度の間の意味のある距離を計算するための機械学習における貴重なツールであることが証明されています。
この成功により、符号付きメジャー、より一般的にはマルチチャネル信号の比較を可能にするトランスポートベースの距離の定義への関心が高まっています。
トランスポート $\mathrm{L}^{p}$ 距離は、署名された、場合によってはマルチチャネル信号に対する最適なトランスポート フレームワークの顕著な拡張です。
この論文では、部分伝送距離のロバスト性の恩恵を受け、一般的な信号を比較するための新しいメトリクスとして部分伝送 $\mathrm{L}^{p}$ 距離を導入します。
最適な計画の存在やさまざまな制限における距離の挙動などの理論的背景を提供します。
さらに、これらの距離のスライスされたバリエーションを導入し、一般的な信号の迅速な比較を可能にします。
最後に、信号クラスの分離性と最近傍分類における提案された距離の適用を示します。

要約(オリジナル)

Optimal transport and its related problems, including optimal partial transport, have proven to be valuable tools in machine learning for computing meaningful distances between probability or positive measures. This success has led to a growing interest in defining transport-based distances that allow for comparing signed measures and, more generally, multi-channeled signals. Transport $\mathrm{L}^{p}$ distances are notable extensions of the optimal transport framework to signed and possibly multi-channeled signals. In this paper, we introduce partial transport $\mathrm{L}^{p}$ distances as a new family of metrics for comparing generic signals, benefiting from the robustness of partial transport distances. We provide theoretical background such as the existence of optimal plans and the behavior of the distance in various limits. Furthermore, we introduce the sliced variation of these distances, which allows for rapid comparison of generic signals. Finally, we demonstrate the application of the proposed distances in signal class separability and nearest neighbor classification.

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