Gaussian Process Priors for Systems of Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients

要約

偏微分方程式 (PDE) は物理システムをモデル化するための重要なツールであり、偏微分方程式 (PDE) を機械学習モデルに含めることは、物理知識を組み込む重要な方法です。
一定の係数を持つ線形偏微分方程式のシステムが与えられた場合、すべての実現がこのシステムの正確な解となるように、EPGP と呼ばれるガウス過程 (GP) 事前分布のファミリーを提案します。
非線形フーリエ変換として機能するエーレンプライス・パラモドフの基本原理を適用して、GP の標準スペクトル手法を反映する GP カーネルを構築します。
私たちのアプローチは、ノイズの多い測定や点ごとに定義された初期条件および境界条件などの任意のデータから線形偏微分方程式システムの確率的な解を推測できます。
EPGP プライアの構築はアルゴリズムに基づいており、一般的に適用可能であり、関連するスペクトル周波数を学習してビッグ データ セットに適したスパース バージョン (S-EPGP) が付属しています。
私たちは、熱方程式、波動方程式、マクスウェル方程式という 3 つの偏微分方程式系に対するアプローチを実証し、一部の実験では計算時間と精度の点で最先端の技術を数桁改善しました。

要約(オリジナル)

Partial differential equations (PDEs) are important tools to model physical systems and including them into machine learning models is an important way of incorporating physical knowledge. Given any system of linear PDEs with constant coefficients, we propose a family of Gaussian process (GP) priors, which we call EPGP, such that all realizations are exact solutions of this system. We apply the Ehrenpreis-Palamodov fundamental principle, which works as a non-linear Fourier transform, to construct GP kernels mirroring standard spectral methods for GPs. Our approach can infer probable solutions of linear PDE systems from any data such as noisy measurements, or pointwise defined initial and boundary conditions. Constructing EPGP-priors is algorithmic, generally applicable, and comes with a sparse version (S-EPGP) that learns the relevant spectral frequencies and works better for big data sets. We demonstrate our approach on three families of systems of PDEs, the heat equation, wave equation, and Maxwell’s equations, where we improve upon the state of the art in computation time and precision, in some experiments by several orders of magnitude.

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