Solving higher-order Lane-Emden-Fowler type equations using physics-informed neural networks: benchmark tests comparing soft and hard constraints

要約

この論文では、高次の常微分方程式 (ODE) を解くことを目的として、物理情報に基づいたニューラル ネットワーク (PINN) を使用した数値手法を紹介します。
実際、この深層学習手法は、さまざまなクラスの特異 ODE、つまりよく知られている 2 次のレーン・エムデン方程式、3 次のエムデン・ファウラー方程式、および 4 次のレーン・エムデン・ファウラー方程式を解くためにうまく適用されています。
PINN 技術の 2 つの変種を検討し、比較します。
まず、ニューラル ネットワークの総損失関数を制約するために最小化手順が使用されます。この手順では、方程式残差が物理ベースの損失を形成するためにある程度の重みを付けて考慮され、初期/境界条件を含むトレーニング データ損失に追加されます。
第 2 に、制約がソフトな制約として現れるトレーニング データに基づく最初の変形とは対照的に、微分方程式を満たすために、これらの条件をハードな制約として保証する試行解の特定の選択が行われます。
PINN バリアントの長所と短所が強調表示されます。

要約(オリジナル)

In this paper, numerical methods using Physics-Informed Neural Networks (PINNs) are presented with the aim to solve higher-order ordinary differential equations (ODEs). Indeed, this deep-learning technique is successfully applied for solving different classes of singular ODEs, namely the well known second-order Lane-Emden equations, third order-order Emden-Fowler equations, and fourth-order Lane-Emden-Fowler equations. Two variants of PINNs technique are considered and compared. First, a minimization procedure is used to constrain the total loss function of the neural network, in which the equation residual is considered with some weight to form a physics-based loss and added to the training data loss that contains the initial/boundary conditions. Second, a specific choice of trial solutions ensuring these conditions as hard constraints is done in order to satisfy the differential equation, contrary to the first variant based on training data where the constraints appear as soft ones. Advantages and drawbacks of PINNs variants are highlighted.

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