Growing Fast without Colliding: Polylogarithmic Time Step Construction of Geometric Shapes

要約

[Almalki and Michael, 2022] と [Gupta et al., 2023] の 2 つの最近のモデルに基づいて、一連の幾何学的成長プロセスの構築力を調査します。
研究されたプロセスでは、一連の集中型、並列型、線形強度の成長操作を適用することで、より小さな形状から、または指数関数的に高速にシングルトンから形状を構築できます。
形状をこれほど高速で成長させる場合の技術的な課題は、形状が壊れたり、伸びたり、自己交差したりする場合などに発生する衝突を回避する必要があることです。
私たちは 2 つのタイプの成長操作 (サイクルを維持することで衝突を回避するものと、サイクルを破ることによって同じことを達成するもの) と 2 つのタイプのグラフ モデルを区別します。
これらのモデルでは、次のタイプの形状到達可能性の問題を研究します。
初期形状のクラス $\mathcal{I}$ と最終形状のクラス $\mathcal{F}$ が与えられた場合、私たちの目的は、任意の (一部の) 形状 $S \in \mathcal{F}$ が次の形状にできるかどうかを判断することです。
$S$ のサイズの (多) 対数であるタイム ステップ数で任意の形状 $S_0 \in \mathcal{I}$ から到達します。
到達可能なクラスについては、それぞれの成長プロセスを追加で示します。
サイクルを維持した成長では、パス、らせん、樹木などの基本的な形状クラスでこれらの問題を研究し、パラメーターとしての転換点の数の重要性を明らかにします。
肯定的な結果と否定的な結果の両方を提供します。
サイクルを打破する成長については、強力で肯定的な結果が得られました。これは、シングルトンから接続された形状を高速に成長させることができる一般的な成長プロセスです。

要約(オリジナル)

Building on two recent models of [Almalki and Michail, 2022] and [Gupta et al., 2023], we explore the constructive power of a set of geometric growth processes. The studied processes, by applying a sequence of centralized, parallel, and linear-strength growth operations, can construct shapes from smaller shapes or from a singleton exponentially fast. A technical challenge in growing shapes that fast is the need to avoid collisions caused, for example, when the shape breaks, stretches, or self-intersects. We distinguish two types of growth operations — one that avoids collisions by preserving cycles and one that achieves the same by breaking them — and two types of graph models. We study the following types of shape reachability questions in these models. Given a class of initial shapes $\mathcal{I}$ and a class of final shapes $\mathcal{F}$, our objective is to determine whether any (some) shape $S \in \mathcal{F}$ can be reached from any shape $S_0 \in \mathcal{I}$ in a number of time steps which is (poly)logarithmic in the size of $S$. For the reachable classes, we additionally present the respective growth processes. In cycle-preserving growth, we study these problems in basic classes of shapes such as paths, spirals, and trees and reveal the importance of the number of turning points as a parameter. We give both positive and negative results. For cycle-breaking growth, we obtain a strong positive result — a general growth process that can grow any connected shape from a singleton fast.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, Google