Lyapunov function search method for analysis of nonlinear systems stability using genetic algorithm

要約

この論文では、測定可能な状態ベクトルを持つ、幅広いクラスの滑らかで連続的な動的非線形システム (制御オブジェクト) を検討します。
問題は、特殊な関数 (リアプノフ関数) を見つけることです。この関数は、2 番目のリアプノフ法のフレームワークにおいて、上記クラスの非線形システムの漸近安定性を保証します。
リアプノフ関数の探索が数学的安定性理論の「基礎」であることはよく知られています。
閉じた線形定常システム、および明示的な線形動的部分と非線形静的部分を持つ非線形オブジェクトの安定性を解析するためにリアプノフ関数を選択または見つける方法は、よく研究されています (Lurie、Yakubovich、Popov などの研究を参照)
）。
ただし、より一般的なクラスの非線形システムのリアプノフ関数を探索するための普遍的なアプローチはまだ特定されていません。
非線形システムのリアプノフ関数を求める方法は多種多様ですが、それらはすべて制御オブジェクトの構造に課せられた制約内で動作します。
この論文では、自動制御理論の分野の専門家に、測定可能な状態ベクトルを備えた滑らかな連続動的非線形システムの安定性解析のためのリアプノフ関数探索の新しいツール/メカニズムを提供できる別のアプローチを提案します。
提案されたアプローチの本質は、オブジェクトの状態ベクトルの要素である未知の係数を乗算し、正の次数に引き上げた非線形項の合計を通じて何らかの関数を表現することにあります。
次に、未知の係数が遺伝的アルゴリズムを使用して選択されます。これにより、リアプノフ関数に必要なすべての条件が関数に提供されます (2 番目のリアプノフ法のフレームワーク内)。

要約(オリジナル)

This paper considers a wide class of smooth continuous dynamic nonlinear systems (control objects) with a measurable vector of state. The problem is to find a special function (Lyapunov function), which in the framework of the second Lyapunov method guarantees asymptotic stability for the above described class of nonlinear systems. It is well known that the search for a Lyapunov function is the ‘cornerstone’ of mathematical stability theory. Methods for selecting or finding the Lyapunov function to analyze the stability of closed linear stationary systems, as well as for nonlinear objects with explicit linear dynamic and nonlinear static parts, have been well studied (see works by Lurie, Yakubovich, Popov, and many others). However, universal approaches to the search for the Lyapunov function for a more general class of nonlinear systems have not yet been identified. There is a large variety of methods for finding the Lyapunov function for nonlinear systems, but they all operate within the constraints imposed on the structure of the control object. In this paper we propose another approach, which allows to give specialists in the field of automatic control theory a new tool/mechanism of Lyapunov function search for stability analysis of smooth continuous dynamic nonlinear systems with measurable state vector. The essence of proposed approach consists in representation of some function through sum of nonlinear terms, which are elements of object’s state vector, multiplied by unknown coefficients, raised to positive degrees. Then the unknown coefficients are selected using genetic algorithm, which should provide the function with all necessary conditions for Lyapunov function (in the framework of the second Lyapunov method).

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