Meta Learning of Interface Conditions for Multi-Domain Physics-Informed Neural Networks

要約

物理情報に基づくニューラル ネットワーク (PINN) は、偏微分方程式 (PDE) のメッシュフリー ソルバーとして人気が高まっています。
最近の拡張機能では、ドメインを分解し、異なる PINN を適用して各サブドメインの問題を解決し、インターフェイスでサブドメインをつなぎ合わせます。
これにより、問題の複雑さがさらに軽減され、計算コストが削減され、並列化が可能になります。
ただし、マルチドメイン PINN のパフォーマンスは、インターフェイス条件の選択に影響されます。
かなりの数の条件が提案されているが、具体的な問題に応じて条件を選択する方法については示唆されていない。
このギャップに対処するために、パラメトリック偏微分方程式を解くための適切な界面条件を動的に決定するためのシンプルで効率的かつ強力なアプローチである META Learning of Interface Conditions (METALIC) を提案します。
具体的には、2 つのコンテキスト マルチアーム バンディット (MAB) モデルを開発します。
1 つ目はトレーニング コース全体に適用され、PDE パラメーターとインターフェイス条件を考慮してパフォーマンスを予測するガウス プロセス (GP) 報酬をオンラインで更新します。
我々は、UCB と Thompson サンプリングの両方に限界のあるサブリニアリグレスを証明し、理論的には MAB の有効性を保証します。
2 番目のステージでは、トレーニングを 2 つのステージに分割します。1 つは確率論的フェーズ、もう 1 つは決定論的フェーズです。
各フェーズの GP 報酬を更新して、2 つのステージで異なる条件を選択できるようにして、柔軟性とパフォーマンスをさらに強化します。
4 つのベンチマーク PDE ファミリで METALIC の利点を示しました。

要約(オリジナル)

Physics-informed neural networks (PINNs) are emerging as popular mesh-free solvers for partial differential equations (PDEs). Recent extensions decompose the domain, apply different PINNs to solve the problem in each subdomain, and stitch the subdomains at the interface. Thereby, they can further alleviate the problem complexity, reduce the computational cost, and allow parallelization. However, the performance of multi-domain PINNs is sensitive to the choice of the interface conditions. While quite a few conditions have been proposed, there is no suggestion about how to select the conditions according to specific problems. To address this gap, we propose META Learning of Interface Conditions (METALIC), a simple, efficient yet powerful approach to dynamically determine appropriate interface conditions for solving a family of parametric PDEs. Specifically, we develop two contextual multi-arm bandit (MAB) models. The first one applies to the entire training course, and online updates a Gaussian process (GP) reward that given the PDE parameters and interface conditions predicts the performance. We prove a sub-linear regret bound for both UCB and Thompson sampling, which in theory guarantees the effectiveness of our MAB. The second one partitions the training into two stages, one is the stochastic phase and the other deterministic phase; we update a GP reward for each phase to enable different condition selections at the two stages to further bolster the flexibility and performance. We have shown the advantage of METALIC on four bench-mark PDE families.

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