Fitting an ellipsoid to a quadratic number of random points

要約

$\mathbb{R}^d$ の $n$ 個の標準ガウス乱数ベクトルを $n, d \to \infty$ として中心楕円体の境界に当てはめる問題 $(\mathrm{P})$ を考えます。
。
この問題は、実現可能性が急激に変化すると推測されています。 $\varepsilon > 0$ の場合、 $n \leq (1 – \varepsilon) d^2 / 4$ の場合、 $(\mathrm{P})$ には解があります。
$n \geq (1 + \varepsilon) d^2 /4$ の場合、$(\mathrm{P})$ には高い確率で解がありません。
これまでのところ、負の側では自明な境界 $n \geq d^2 / 2$ のみがわかっていますが、正の側での最良の結果は $n \leq d^2 / \mathrm{polylog}(d)$ を想定しています。
。
この研究では、ランダム ベクトルのグラム行列の集中に関する Bartl と Mendelson の重要な結果を使用して、テールの挙動に関する穏やかな仮定の下で以前のアプローチを改良しました。
これにより、(おそらく大きな) 定数 $C > 0$ に対して $n \leq d^2 / C$ のとき、$(\mathrm{P})$ が高い確率で実現可能であるという簡単な証明を与えることができます。

要約(オリジナル)

We consider the problem $(\mathrm{P})$ of fitting $n$ standard Gaussian random vectors in $\mathbb{R}^d$ to the boundary of a centered ellipsoid, as $n, d \to \infty$. This problem is conjectured to have a sharp feasibility transition: for any $\varepsilon > 0$, if $n \leq (1 – \varepsilon) d^2 / 4$ then $(\mathrm{P})$ has a solution with high probability, while $(\mathrm{P})$ has no solutions with high probability if $n \geq (1 + \varepsilon) d^2 /4$. So far, only a trivial bound $n \geq d^2 / 2$ is known on the negative side, while the best results on the positive side assume $n \leq d^2 / \mathrm{polylog}(d)$. In this work, we improve over previous approaches using a key result of Bartl & Mendelson on the concentration of Gram matrices of random vectors under mild assumptions on their tail behavior. This allows us to give a simple proof that $(\mathrm{P})$ is feasible with high probability when $n \leq d^2 / C$, for a (possibly large) constant $C > 0$.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, Google