Representing and Learning Functions Invariant Under Crystallographic Groups

要約

結晶学的グループは、自然や科学で遭遇する結晶やその他の繰り返し構造の対称性を記述します。
これらのグループには、壁紙グループとスペース グループが含まれます。
このようなグループの下で、(1) 滑らかで (2) 不変である関数の線形および非線形表現を導出します。
線形表現は、フーリエ基底を結晶学的に不変の基底関数に一般化します。
このような基底が各結晶群に存在すること、それが関連する $L_2$ 空間で正規直交であることを示し、純粋なシフト群の特別な場合として標準フーリエ基底を回復します。
非線形表現は、群の軌道空間を有限次元のユークリッド空間に埋め込みます。
我々は、そのような埋め込みがすべての結晶群に存在すること、そしてそれがオービフォールドと呼ばれる多様体の一般化を通じて機能することを示します。
グループの標準化された記述を考慮して、フーリエ基底と埋め込みマップを計算するアルゴリズムについて説明します。
例として、結晶学的に不変なニューラル ネットワーク、カーネル マシン、ガウス プロセスを構築します。

要約(オリジナル)

Crystallographic groups describe the symmetries of crystals and other repetitive structures encountered in nature and the sciences. These groups include the wallpaper and space groups. We derive linear and nonlinear representations of functions that are (1) smooth and (2) invariant under such a group. The linear representation generalizes the Fourier basis to crystallographically invariant basis functions. We show that such a basis exists for each crystallographic group, that it is orthonormal in the relevant $L_2$ space, and recover the standard Fourier basis as a special case for pure shift groups. The nonlinear representation embeds the orbit space of the group into a finite-dimensional Euclidean space. We show that such an embedding exists for every crystallographic group, and that it factors functions through a generalization of a manifold called an orbifold. We describe algorithms that, given a standardized description of the group, compute the Fourier basis and an embedding map. As examples, we construct crystallographically invariant neural networks, kernel machines, and Gaussian processes.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, Google