Broadcasting in random recursive dags

要約

uniform $k$-{sc dag} は、既存のノードから一様にランダムに $k$ 個の親を選ぶことで、一様ランダム再帰木を一般化したものである。これは、$k$個の”根”から始まる。k$ 個の根にはそれぞれビットが割り当てられている。これらのビットはノイズの多いチャネルによって伝搬される。親のビットは確率$p$で反転され、多数決がとられる。すべてのノードがビットを受け取ったとき、根を特定せずに$k$-{sc dag}が表示される。目的は、根の中で多数派のビットを推定することである。p$の閾値を$k$の関数とし、それ以下では全ノードの多数決が$c<1/2$で$c+o(1)$の誤差を生むとする。閾値以上では、多数決は確率$1/2+o(1)$でエラーとなる。

要約(オリジナル)

A uniform $k$-{\sc dag} generalizes the uniform random recursive tree by picking $k$ parents uniformly at random from the existing nodes. It starts with $k$ ”roots”. Each of the $k$ roots is assigned a bit. These bits are propagated by a noisy channel. The parents’ bits are flipped with probability $p$, and a majority vote is taken. When all nodes have received their bits, the $k$-{\sc dag} is shown without identifying the roots. The goal is to estimate the majority bit among the roots. We identify the threshold for $p$ as a function of $k$ below which the majority rule among all nodes yields an error $c+o(1)$ with $c<1/2$. Above the threshold the majority rule errs with probability $1/2+o(1)$.

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