Dynamic Algorithms for Matroid Submodular Maximization

要約

マトロイド制約とカーディナリティ制約の下でのサブモジュラー最大化は、機械学習、オークション理論、組み合わせ最適化などの幅広い用途に使用される古典的な問題です。
この論文では、(1) 単調部分モジュラー関数 $f: 2^{V} \rightarrow \mathbb{R}^+$ に Oracle でアクセスでき、(2) が与えられた動的設定でこれらの問題を検討します。
基礎となるグラウンドセット $V$ の要素の挿入と削除のシーケンス $\mathcal{S}$。
予想される最悪のケースを使用して、マトロイド制約の下で部分モジュラー最大化問題に対する最初のパラメータ化された(マトロイド $\mathcal{M}$ のランク $k$ による)動的 $(4+\epsilon)$ 近似アルゴリズムを開発します。
$O(k\log(k)\log^3{(k/\epsilon)})$ クエリの複雑さ、$0 < \epsilon \le 1$。 STOC'22 で Chen と Peng は、挿入のみの動的モデル (削除が許可されていない完全動的モデルの制限されたバージョン) におけるこの問題の複雑さを研究し、次の重要な未解決の質問を提起しました。 * ストリーム [要素の挿入と削除のシーケンス] では、マトロイド制約に対するポリ(k) 償却クエリを使用した既知の定数因数近似アルゴリズムはありません。* 私たちの動的アルゴリズムは、この質問と Lattanzi らの未解決の問題に答えます。 (NeurIPS'20) は肯定的です。 副産物として、カーディナリティ制約 $k$ の下でのサブモジュール最大化のために、シーケンス $\ の $(2+\epsilon)$ 近似解を維持するパラメータ化された (カーディナリティ制約 $k$ による) 動的アルゴリズムを提案します。 mathcal{S}$ は、予想される償却最悪の場合の複雑度 $O(k\epsilon^{-1}\log^2(k))$ を使用して $t$ に計算されます。 これは、グラウンド セット $V$ のサイズに依存しないクエリの複雑さをもつ、この問題に対する最初の動的アルゴリズムです。

要約(オリジナル)

Submodular maximization under matroid and cardinality constraints are classical problems with a wide range of applications in machine learning, auction theory, and combinatorial optimization. In this paper, we consider these problems in the dynamic setting where (1) we have oracle access to a monotone submodular function $f: 2^{V} \rightarrow \mathbb{R}^+$ and (2) we are given a sequence $\mathcal{S}$ of insertions and deletions of elements of an underlying ground set $V$. We develop the first parameterized (by the rank $k$ of a matroid $\mathcal{M}$) dynamic $(4+\epsilon)$-approximation algorithm for the submodular maximization problem under the matroid constraint using an expected worst-case $O(k\log(k)\log^3{(k/\epsilon)})$ query complexity where $0 < \epsilon \le 1$. Chen and Peng at STOC'22 studied the complexity of this problem in the insertion-only dynamic model (a restricted version of the fully dynamic model where deletion is not allowed), and they raised the following important open question: *'for fully dynamic streams [sequences of insertions and deletions of elements], there is no known constant-factor approximation algorithm with poly(k) amortized queries for matroid constraints.'* Our dynamic algorithm answers this question as well as an open problem of Lattanzi et al. (NeurIPS'20) affirmatively. As a byproduct, for the submodular maximization under the cardinality constraint $k$, we propose a parameterized (by the cardinality constraint $k$) dynamic algorithm that maintains a $(2+\epsilon)$-approximate solution of the sequence $\mathcal{S}$ at any time $t$ using the expected amortized worst-case complexity $O(k\epsilon^{-1}\log^2(k))$. This is the first dynamic algorithm for the problem that has a query complexity independent of the size of ground set $V$.

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