LNO: Laplace Neural Operator for Solving Differential Equations

要約

ラプラス変換を利用して入力空間を分解する、ラプラス ニューラル オペレーター (LNO) を紹介します。
フーリエ神経演算子 (FNO) とは異なり、LNO は非周期信号を処理し、過渡応答を考慮し、指数関数的な収束を示すことができます。
LNO には、入力空間と出力空間の間の極と剰余の関係が組み込まれており、解釈可能性が向上し、一般化能力が向上します。
ここでは、3 つの ODE (ダフィング発振器、駆動重力振り子、ローレンツ系) と 3 つの PDE (オイラー・ベルヌーイ ビーム、拡散) の解を近似する際に、FNO の 4 つのフーリエ モジュールよりも LNO の 1 つのラプラス層の方が優れた近似精度を実証します。
方程式、反応拡散系）。
特に、LNO は、非減衰シナリオでの過渡応答の捕捉において FNO よりも優れています。
線形オイラー・ベルヌーイ ビームと拡散方程式の場合、LNO の極剰余公式の正確な表現は、FNO よりも大幅に優れた結果をもたらします。
非線形反応拡散システムの場合、LNO の誤差は FNO の誤差よりも小さく、オペレーター学習のためのネットワーク パラメーターとしてシステムの極と剰余を使用することの有効性を示しています。
全体として、私たちの結果は、LNO が無限次元空間間で関数をマッピングするニューラル演算子を学習するための有望な新しいアプローチであることを示唆しています。

要約(オリジナル)

We introduce the Laplace neural operator (LNO), which leverages the Laplace transform to decompose the input space. Unlike the Fourier Neural Operator (FNO), LNO can handle non-periodic signals, account for transient responses, and exhibit exponential convergence. LNO incorporates the pole-residue relationship between the input and the output space, enabling greater interpretability and improved generalization ability. Herein, we demonstrate the superior approximation accuracy of a single Laplace layer in LNO over four Fourier modules in FNO in approximating the solutions of three ODEs (Duffing oscillator, driven gravity pendulum, and Lorenz system) and three PDEs (Euler-Bernoulli beam, diffusion equation, and reaction-diffusion system). Notably, LNO outperforms FNO in capturing transient responses in undamped scenarios. For the linear Euler-Bernoulli beam and diffusion equation, LNO’s exact representation of the pole-residue formulation yields significantly better results than FNO. For the nonlinear reaction-diffusion system, LNO’s errors are smaller than those of FNO, demonstrating the effectiveness of using system poles and residues as network parameters for operator learning. Overall, our results suggest that LNO represents a promising new approach for learning neural operators that map functions between infinite-dimensional spaces.

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