Geometric Clifford Algebra Networks

要約

動的システムをモデル化するために幾何クリフォード代数ネットワーク (GCAN) を提案します。
GCAN は、幾何 (クリフォード) 代数を使用した対称群変換に基づいています。
まず、$\mathrm{Pin}(p,q,r)$ 群の要素としてエンコードされたアイソメトリに基づいた、現代の (平面ベースの) 幾何代数の本質を確認します。
次に、事前に指定されたグループ アクションを使用してオブジェクト変換を線形に結合するグループ アクション レイヤーの概念を提案します。
新しい活性化および正規化スキームと併せて、これらのレイヤーは、勾配降下法によって調整できる調整可能な $\textit{幾何学テンプレート}$ として機能します。
理論上の利点は、大規模な流体力学シミュレーションだけでなく 3 次元剛体変換のモデリングにも強く反映されており、従来の方法と比較してパフォーマンスが大幅に向上しています。

要約(オリジナル)

We propose Geometric Clifford Algebra Networks (GCANs) for modeling dynamical systems. GCANs are based on symmetry group transformations using geometric (Clifford) algebras. We first review the quintessence of modern (plane-based) geometric algebra, which builds on isometries encoded as elements of the $\mathrm{Pin}(p,q,r)$ group. We then propose the concept of group action layers, which linearly combine object transformations using pre-specified group actions. Together with a new activation and normalization scheme, these layers serve as adjustable $\textit{geometric templates}$ that can be refined via gradient descent. Theoretical advantages are strongly reflected in the modeling of three-dimensional rigid body transformations as well as large-scale fluid dynamics simulations, showing significantly improved performance over traditional methods.

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