Transfer operators on graphs: Spectral clustering and beyond

要約

グラフとネットワークは、交通ネットワーク、集積回路、電力網、引用グラフ、生物学的ニューラル ネットワークや人工ニューラル ネットワークなど、複雑に相互接続されたシステムのモデル化と分析において重要な役割を果たします。
グラフ クラスタリング アルゴリズムを使用すると、強く接続された頂点のグループを検出し、粗粒度のモデルを導出できます。
グラフ上で Koopman 演算子や Perron-Frobenius 演算子などの伝達演算子を定義し、それらのスペクトル特性を研究し、これらの演算子のガラーキン投影を導入し、データから縮小表現を推定する方法を示します。
特に、無向グラフのスペクトル クラスタリングがコープマン演算子の固有関数の観点から解釈できることを示し、一般化伝達演算子に基づく有向グラフの新しいクラスタリング アルゴリズムを提案します。
いくつかのベンチマーク問題に対する結果として得られるアルゴリズムの有効性を実証し、クラスターのさまざまな解釈を提供します。

要約(オリジナル)

Graphs and networks play an important role in modeling and analyzing complex interconnected systems such as transportation networks, integrated circuits, power grids, citation graphs, and biological and artificial neural networks. Graph clustering algorithms can be used to detect groups of strongly connected vertices and to derive coarse-grained models. We define transfer operators such as the Koopman operator and the Perron-Frobenius operator on graphs, study their spectral properties, introduce Galerkin projections of these operators, and illustrate how reduced representations can be estimated from data. In particular, we show that spectral clustering of undirected graphs can be interpreted in terms of eigenfunctions of the Koopman operator and propose novel clustering algorithms for directed graphs based on generalized transfer operators. We demonstrate the efficacy of the resulting algorithms on several benchmark problems and provide different interpretations of clusters.

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