Physics-Informed Neural Networks for Discovering Localised Eigenstates in Disordered Media

要約

ランダムポテンシャルを持つSchr'{o}dinger方程式は、無秩序系における粒子の振る舞いを理解するための基本モデルである。無秩序媒体は、アンダーソン局在とも呼ばれる波動関数の局在化をもたらす複雑なポテンシャルによって特徴付けられる。これらの波動関数は、固有エネルギーのスケールが似ていることがあり、その発見を困難にしている。また、Schr'{o}dinger方程式を解くには高い計算コストと複雑さが伴うため、長年の課題となっています。近年、これらの課題に取り組むために、機械学習ツールが採用されています。本論文では、最近の機械学習の進歩に基づき、物理情報ニューラルネットワーク（PINN）を用いて無秩序媒体の局所的な固有状態を発見する新しいアプローチを紹介する。我々は、ベルヌーイ分布、正規分布、一様分布に従ってランダムに生成されるポテンシャルを持つ1次元のハミルトニアンのスペクトル近似に着目する。我々は損失関数に新しい機能を導入し、これらの領域で発生する既知の物理現象を利用して、領域を横断的にスキャンし、固有エネルギーの類似性に関係なく、これらの固有状態をうまく発見する。提案手法の性能を示すために様々な例を提示し、アイソジオメトリック解析と比較する。

要約(オリジナル)

The Schr\'{o}dinger equation with random potentials is a fundamental model for understanding the behaviour of particles in disordered systems. Disordered media are characterised by complex potentials that lead to the localisation of wavefunctions, also called Anderson localisation. These wavefunctions may have similar scales of eigenenergies which poses difficulty in their discovery. It has been a longstanding challenge due to the high computational cost and complexity of solving the Schr\'{o}dinger equation. Recently, machine-learning tools have been adopted to tackle these challenges. In this paper, based upon recent advances in machine learning, we present a novel approach for discovering localised eigenstates in disordered media using physics-informed neural networks (PINNs). We focus on the spectral approximation of Hamiltonians in one dimension with potentials that are randomly generated according to the Bernoulli, normal, and uniform distributions. We introduce a novel feature to the loss function that exploits known physical phenomena occurring in these regions to scan across the domain and successfully discover these eigenstates, regardless of the similarity of their eigenenergies. We present various examples to demonstrate the performance of the proposed approach and compare it with isogeometric analysis.

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