Data-driven reduced order models using invariant foliations, manifolds and autoencoders

要約

タイトル：不変折れ線、多様体、オートエンコーダーを使用したデータ駆動型の低次元モデル

要約：
– 物理システムから低次元モデル（ROM）を同定する方法を探る。
– ROMは観測された動的不変部分を捉える。
– 物理システムと数学的モデルの関係には、不変折れ線、不変多様体、オートエンコーダー、方程式フリーモデルの4つがある。
– 不変多様体と方程式フリーモデルを同定するには、システムのクローズドループ操作が必要である。
– 不変折れ線とオートエンコーダーはオフラインデータも使用できる。しかしながら、ROMを同定できるのは不変折れ線と不変多様体のみであり、その他の方法は完全なモデルを同定するものである。
– したがって、既存のデータからROMを同定する一般的な場合には、不変折れ線を使用する必要がある。
– 不変折れ線の発見には、高次元関数の近似が必要である。関数近似では、次元が増加するにつれて複雑さが線形に増加するテンソル係数での多項式を使用する。
– 不変多様体は不変折れ線の固定された葉としても発見できる。この場合、不変多様体の小さな近傍で折れ線を解決することで、プロセスを大幅に簡素化することができる。
– 不変折れ線と対応する不変多様体を組み合わせることで、正確なROMが提供される。
– ある種の機械システムで典型的な焦点型平衡の場合、ROMを解析する。
– 不変折れ線または不変多様体によって定義される非線形座標系は瞬間周波数と減衰比を歪める。これを補正する必要がある。
– 例を用いて、不変折れ線や不変多様体を求める方法を説明し、同時にクープマン固有関数やオートエンコーダーは同じ条件下で正確なROMを捉えることができないことを示す。

要約(オリジナル)

This paper explores how to identify a reduced order model (ROM) from a physical system. A ROM captures an invariant subset of the observed dynamics. We find that there are four ways a physical system can be related to a mathematical model: invariant foliations, invariant manifolds, autoencoders and equation-free models. Identification of invariant manifolds and equation-free models require closed-loop manipulation of the system. Invariant foliations and autoencoders can also use off-line data. Only invariant foliations and invariant manifolds can identify ROMs, the rest identify complete models. Therefore, the common case of identifying a ROM from existing data can only be achieved using invariant foliations. Finding an invariant foliation requires approximating high-dimensional functions. For function approximation, we use polynomials with compressed tensor coefficients, whose complexity increases linearly with increasing dimensions. An invariant manifold can also be found as the fixed leaf of a foliation. This only requires us to resolve the foliation in a small neighbourhood of the invariant manifold, which greatly simplifies the process. Combining an invariant foliation with the corresponding invariant manifold provides an accurate ROM. We analyse the ROM in case of a focus type equilibrium, typical in mechanical systems. The nonlinear coordinate system defined by the invariant foliation or the invariant manifold distorts instantaneous frequencies and damping ratios, which we correct. Through examples we illustrate the calculation of invariant foliations and manifolds, and at the same time show that Koopman eigenfunctions and autoencoders fail to capture accurate ROMs under the same conditions.

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