Hierarchical community structure in networks

要約

タイトル: ネットワークにおける階層的コミュニティ構造
要約:
– 現実の複雑なシステムにおいて、モジュール化された階層的なコミュニティ構造は普遍的である。
– これらの構造を検出して研究するために、多大な努力が注がれてきた。
– モジュールを検出するための理論的な進歩には、確率的生成モデルを用いてコミュニティ構造を形式的に定義することによる検出の限界を特定することが含まれる。
– 階層的なコミュニティ構造を検出することは、コミュニティ検出から引き継いだ課題に加えて、追加の課題をもたらす。
– これまで同様に厳密な注目を受けていなかったネットワークにおける階層的なコミュニティ構造に関する理論的研究を提供する。
– 次の質問に対処する: 1）コミュニティの階層をどのように定義するか？2）ネットワークに階層的な構造があるかどうかをどのように決定するか？3）階層的な構造を効率的に検出する方法は何か？
– 階層を定義するために、確率的ブロックモデルなどの確率的モデルとの関係に基づく、確率的外部等価分割の概念に基づく階層を導入する。
– 階層を検出する上での課題を列挙し、階層的構造のスペクトル特性を研究することにより、効率的かつ原理的な方法を提供する。

要約(オリジナル)

Modular and hierarchical community structures are pervasive in real-world complex systems. A great deal of effort has gone into trying to detect and study these structures. Important theoretical advances in the detection of modular have included identifying fundamental limits of detectability by formally defining community structure using probabilistic generative models. Detecting hierarchical community structure introduces additional challenges alongside those inherited from community detection. Here we present a theoretical study on hierarchical community structure in networks, which has thus far not received the same rigorous attention. We address the following questions: 1) How should we define a hierarchy of communities? 2) How do we determine if there is sufficient evidence of a hierarchical structure in a network? and 3) How can we detect hierarchical structure efficiently? We approach these questions by introducing a definition of hierarchy based on the concept of stochastic externally equitable partitions and their relation to probabilistic models, such as the popular stochastic block model. We enumerate the challenges involved in detecting hierarchies and, by studying the spectral properties of hierarchical structure, present an efficient and principled method for detecting them.

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