Solving Elliptic Problems with Singular Sources using Singularity Splitting Deep Ritz Method

要約

タイトル：シンギュラリティ分割Deep Ritz法を用いた特異源を持つ楕円形問題の解決

要約：
– 本研究では、変数係数と特異源を持つ2次楕円形方程式に対する、ニューラルネットワークに基づく効率的なソルバーを開発した。
– この問題のクラスは一般的な点源、線源、及びその組み合わせをカバーし、幅広い実用的な応用がある。
– 提案手法は、真の解をラプラス方程式の基本解を用いて解析的に解いた特異部分と、平滑化されたソースを持つ適切に改良された楕円型PDEを満たす正則部分に分解し、Deep Ritz法を用いて正規部分を解くことに基づく。
– Dirichlet境界条件を強制するためのペナルティパラメータを選択するために、経路追跡戦略が提案されている。
– 点源、線源、またはその組み合わせを持つ2次元および多次元空間での広範な数値実験が提示され、提案手法の効率性を明確に示すいくつかの既存のニューラルネットワークに基づくアプローチとの比較研究も行われた。
– 加えて、アプローチの誤差解析についても簡単に議論されている。

要約(オリジナル)

In this work, we develop an efficient solver based on neural networks for second-order elliptic equations with variable coefficients and singular sources. This class of problems covers general point sources, line sources and the combination of point-line sources, and has a broad range of practical applications. The proposed approach is based on decomposing the true solution into a singular part that is known analytically using the fundamental solution of the Laplace equation and a regular part that satisfies a suitable modified elliptic PDE with a smoother source, and then solving for the regular part using the deep Ritz method. A path-following strategy is suggested to select the penalty parameter for enforcing the Dirichlet boundary condition. Extensive numerical experiments in two- and multi-dimensional spaces with point sources, line sources or their combinations are presented to illustrate the efficiency of the proposed approach, and a comparative study with several existing approaches based on neural networks is also given, which shows clearly its competitiveness for the specific class of problems. In addition, we briefly discuss the error analysis of the approach.

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