On the convergence of nonlinear averaging dynamics with three-body interactions on hypergraphs

要約

タイトル：超グラフ上の三体相互作用を含む非線形平均力学の収束についての研究

要約：
– 物理学、生物学、社会科学などの複雑なネットワークシステムでは、単純なペアワイズの相互作用を超えた相互作用がしばしば存在します。
– 超グラフは、多数の相互作用を持つシステムの複雑な行動を記述し分析する強力なモデリングツールとして機能します。
– 本研究では、三体相互作用を持つ離散時間非線形平均力学を調査します。三つ組を超エッジとした基礎的な超グラフは相互作用の構造を描写し、頂点は隣接ペアの状態による重み付き状態依存平均で状態を更新します。
– この動力学は、仲間のプレッシャーなどの強化する集団効果を捉え、初期状態、超グラフのトポロジー、更新の非線形性の複雑な相互作用からの高次元の動的効果を示します。
– 二体相互作用を持つグラフ上の線形平均力学と異なり、このモデルは初期状態の平均に収束せず、代わりにシフトを誘発します。
– ランダムな初期状態を仮定し、超グラフについてのいくつかの規則性と密度についての仮定を行うことで、この動力学が初期状態の乗算シフト平均に高い確率で収束することを証明します。
– さらに、初期状態と相互作用の強度を記述する2つのパラメータ、および収束時間を超グラフの構造の関数としてシフトを特徴付けます。

要約(オリジナル)

Complex networked systems in fields such as physics, biology, and social sciences often involve interactions that extend beyond simple pairwise ones. Hypergraphs serve as powerful modeling tools for describing and analyzing the intricate behaviors of systems with multi-body interactions. Herein, we investigate a discrete-time nonlinear averaging dynamics with three-body interactions: an underlying hypergraph, comprising triples as hyperedges, delineates the structure of these interactions, while the vertices update their states through a weighted, state-dependent average of neighboring pairs’ states. This dynamics captures reinforcing group effects, such as peer pressure, and exhibits higher-order dynamical effects resulting from a complex interplay between initial states, hypergraph topology, and nonlinearity of the update. Differently from linear averaging dynamics on graphs with two-body interactions, this model does not converge to the average of the initial states but rather induces a shift. By assuming random initial states and by making some regularity and density assumptions on the hypergraph, we prove that the dynamics converges to a multiplicatively-shifted average of the initial states, with high probability. We further characterize the shift as a function of two parameters describing the initial state and interaction strength, as well as the convergence time as a function of the hypergraph structure.

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