Model Reduction for Nonlinear Systems by Balanced Truncation of State and Gradient Covariance

要約

タイトル：状態と勾配共分散のバランストランケーションによる非線形システムのモデル簡約

要約：
– 高次元非線形力学系の精度の高い予測ができるデータドリブン簡約モデルは、低分散座標に敏感であるため、proper orthogonal decomposition、kernel principal component analysis、autoencodersによってしばしば切り捨てをされる。このようなシステムは、非正則性が乱流流れで頻繁に求められ、摂動の増大に重要な役割を果たす。
– この問題を解決するために、アクティブサブスペースからのアイデアを採用し、系の感度に関するアドジョイントベース情報と、軌跡上の状態の分散をバランスの取れた低次元座標系を探します。得られた共分散バランシング簡約は、Graians置換法と同じ主要な変換法則を従う、状態とアドジョイントベース勾配共分散行列を使うバランストランケーションの一種である。ここで、抽出された座標は、Petrov-Galerkin低次元モデルを構築するために使用される正投影に関連付けられます。
– また、状態と勾配サンプルの内積に依存することがわかり、内積をカーネル関数に置き換えることで、豊富で非線形な座標で簡約座標を計算することができます。この座標で、回帰を用いた簡約モデルを学習することができます。
– 最後に、この技術を単純でも挑戦的な3次元システムと非線形軸対称噴流シミュレーション（10^5の状態変数）で比較検討します。

要約(オリジナル)

Data-driven reduced-order models often fail to make accurate forecasts of high-dimensional nonlinear dynamical systems that are sensitive along coordinates with low-variance because such coordinates are often truncated, e.g., by proper orthogonal decomposition, kernel principal component analysis, and autoencoders. Such systems are encountered frequently in shear-dominated fluid flows where non-normality plays a significant role in the growth of disturbances. In order to address these issues, we employ ideas from active subspaces to find low-dimensional systems of coordinates for model reduction that balance adjoint-based information about the system’s sensitivity with the variance of states along trajectories. The resulting method, which we refer to as covariance balancing reduction using adjoint snapshots (CoBRAS), is analogous to balanced truncation with state and adjoint-based gradient covariance matrices replacing the system Gramians and obeying the same key transformation laws. Here, the extracted coordinates are associated with an oblique projection that can be used to construct Petrov-Galerkin reduced-order models. We provide an efficient snapshot-based computational method analogous to balanced proper orthogonal decomposition. This also leads to the observation that the reduced coordinates can be computed relying on inner products of state and gradient samples alone, allowing us to find rich nonlinear coordinates by replacing the inner product with a kernel function. In these coordinates, reduced-order models can be learned using regression. We demonstrate these techniques and compare to a variety of other methods on a simple, yet challenging three-dimensional system and a nonlinear axisymmetric jet flow simulation with $10^5$ state variables.

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