Diffusion Maps for Group-Invariant Manifolds

要約

タイトル：群不変多様体の拡散マップ
要約：

– Lie群に対する不変性があるデータセットの多様体学習問題を考える。
– アプローチは、既存のデータ点の$K$軌道上での積分によってデータ誘導グラフラプラシアンを拡張し、$K$不変のグラフラプラシアン$L$を生成すること。
– $L$は、$K$の単位可逆表現行列を使用して対角化でき、その固有値と固有関数の計算の明示的な公式を提供する。
– さらに、正規化されたグラフラプラシアン演算子$L_N$が、改良された収束率でデータ多様体のラプラス・ベルトラミ演算子に収束することを示す。
– この研究は、LandaとShkolniskyのステアリンググラフラプラシアンフレームワークを、$\operatorname{SO}(2)$の場合から任意のコンパクトLie群の場合に拡張したものである。

要約(オリジナル)

In this article, we consider the manifold learning problem when the data set is invariant under the action of a compact Lie group $K$. Our approach consists in augmenting the data-induced graph Laplacian by integrating over the $K$-orbits of the existing data points, which yields a $K$-invariant graph Laplacian $L$. We prove that $L$ can be diagonalized by using the unitary irreducible representation matrices of $K$, and we provide an explicit formula for computing its eigenvalues and eigenfunctions. In addition, we show that the normalized Laplacian operator $L_N$ converges to the Laplace-Beltrami operator of the data manifold with an improved convergence rate, where the improvement grows with the dimension of the symmetry group $K$. This work extends the steerable graph Laplacian framework of Landa and Shkolnisky from the case of $\operatorname{SO}(2)$ to arbitrary compact Lie groups.

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