Machine Learning for Partial Differential Equations

要約

タイトル – 偏微分方程式のための機械学習
要約 – 偏微分方程式（PDE）は、自然現象の法則を最も普遍的かつ簡潔に説明し、多様な現象と多重スケールな物理現象をコンパクトで象徴的な表現で捉えています。このレビューでは、機械学習によって進歩しているPDE研究のいくつかの有望な取り組みについて検討する。その中でも、「1) 複雑な自然物理現象やエンジニアードシステムの新しい支配PDEsや粗視化近似の発見、2）分析しやすくするための効果的な座標系や簡約モデルの学習、3）解決演算子の表現と伝統的な数値アルゴリズムの改善」などを行っている。これらの分野では、主要な進歩、継続的な課題、今後の発展の機会をまとめている。

– PDEは、自然現象の法則を最も普遍的かつ簡潔に説明し、多様な現象をコンパクトで象徴的な表現で捉えることができる。
– 機械学習によって、新しい支配PDEsや粗視化近似の発見、解決演算子の表現と伝統的な数値アルゴリズムの改善などの研究が進んでいる。
– その中でも、分析しやすくするための効果的な座標系や簡約モデルの学習などが重要な課題となっている。
– 今後も、さらなる発展に向けた研究の機会がある。

要約(オリジナル)

Partial differential equations (PDEs) are among the most universal and parsimonious descriptions of natural physical laws, capturing a rich variety of phenomenology and multi-scale physics in a compact and symbolic representation. This review will examine several promising avenues of PDE research that are being advanced by machine learning, including: 1) the discovery of new governing PDEs and coarse-grained approximations for complex natural and engineered systems, 2) learning effective coordinate systems and reduced-order models to make PDEs more amenable to analysis, and 3) representing solution operators and improving traditional numerical algorithms. In each of these fields, we summarize key advances, ongoing challenges, and opportunities for further development.

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