On Two-Handed Planar Assembly Partitioning with Connectivity Constraints

要約

組立計画は、ロボット工学と自動化における基本的な問題であり、製品の個々の構成部品を製品内の最終的な配置に持ち込むための一連の動作を設計する必要があります。
組み立て計画は、分解問題として自然にキャストされ、組み立て分割問題を引き起こします: 部品のセット $A$ が与えられた場合、$S$ ができるように、サブアセンブリと呼ばれるサブセット $S\subset A$ を見つけます。
$A\setminus S$ と衝突することなく、指定された方向に沿って無限に厳密に変換されます。
アセンブリの分割は効率的に解決できますが、サブアセンブリのパーツを簡単にまとめられることがさらに望まれます。
これは、私たちが研究している接続アセンブリ分割と呼ばれる問題の動機となります。この問題では、さらに 2 つのサブアセンブリ $S$ と $A\setminus S$ のそれぞれを接続する必要があります。
この問題がNP完全であることを示し、Wilsonらによって提起された未解決の問題を解決します。
(1995) $A$ が単位グリッドの正方形で構成されている (つまり、$A$ が polyomino-shape である) 場合でも、四半世紀前です。
この結果に向けて、同じ節に現れる変数の隣接要件を持つ新しい Planar 3-SAT バリアントの NP 困難性を証明します。これは独立した関心事である可能性があります。
肯定的な側面として、平面内のポリゴンで構成されるアセンブリ $A$ に対して、$O(2^k n^2)$ 時間固定パラメータの扱いやすいアルゴリズム (低次の多項式時間の前処理が必要) を提供します。
$n=|A|$ および $k=|S|$。
また、接続されたパーティションが常に $O(n)$ 時間で見つかる、ユニットグリッド正方形アセンブリの特殊なケースについても説明します。

要約(オリジナル)

Assembly planning is a fundamental problem in robotics and automation, which involves designing a sequence of motions to bring the separate constituent parts of a product into their final placement in the product. Assembly planning is naturally cast as a disassembly problem, giving rise to the assembly partitioning problem: Given a set $A$ of parts, find a subset $S\subset A$, referred to as a subassembly, such that $S$ can be rigidly translated to infinity along a prescribed direction without colliding with $A\setminus S$. While assembly partitioning is efficiently solvable, it is further desirable for the parts of a subassembly to be easily held together. This motivates the problem that we study, called connected-assembly-partitioning, which additionally requires each of the two subassemblies, $S$ and $A\setminus S$, to be connected. We show that this problem is NP-complete, settling an open question posed by Wilson et al. (1995) a quarter of a century ago, even when $A$ consists of unit-grid squares (i.e., $A$ is polyomino-shaped). Towards this result, we prove the NP-hardness of a new Planar 3-SAT variant having an adjacency requirement for variables appearing in the same clause, which may be of independent interest. On the positive side, we give an $O(2^k n^2)$-time fixed-parameter tractable algorithm (requiring low degree polynomial-time pre-processing) for an assembly $A$ consisting of polygons in the plane, where $n=|A|$ and $k=|S|$. We also describe a special case of unit-grid square assemblies, where a connected partition can always be found in $O(n)$-time.

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