Bilevel Imaging Learning Problems as Mathematical Programs with Complementarity Constraints: Reformulation and Theory

要約

下位レベルのインスタンスが 1 次および 2 次の非平滑スパース性ベースの正則化子を含む凸変分モデルに対応する 2 値イメージング学習問題のファミリを調査します。
下位レベルの問題の主双対再定式化の幾何学的特性を使用し、適切な補助変数を導入することにより、元の 2 レベル問題を相補性制約付き数学プログラム (MPCC) として再定式化できます。
後者については、厳しい制約条件 (MPCC-RCPLD および部分 MPCC-LICQ) を証明し、Mordukhovich (M-) および Strong (S-) 定常性条件を導き出します。
MPCC の定常性システムは、元の定式化の定常性条件にもなります。
二次の十分な最適条件も、静止点の局所的な一意性の結果とともに導出されます。
提案された再定式化は、関数空間の問題に拡張される可能性があり、状態の勾配に制約のある MPCC につながります。
MPCC の定式化は、さまざまなイメージング アプリケーションが研究されている関連論文に示されているように、利用可能な大規模な非線形計画法ソルバーの効率的な使用にもつながります。

要約(オリジナル)

We investigate a family of bilevel imaging learning problems where the lower-level instance corresponds to a convex variational model involving first- and second-order nonsmooth sparsity-based regularizers. By using geometric properties of the primal-dual reformulation of the lower-level problem and introducing suitable auxiliar variables, we are able to reformulate the original bilevel problems as Mathematical Programs with Complementarity Constraints (MPCC). For the latter, we prove tight constraint qualification conditions (MPCC-RCPLD and partial MPCC-LICQ) and derive Mordukhovich (M-) and Strong (S-) stationarity conditions. The stationarity systems for the MPCC turn also into stationarity conditions for the original formulation. Second-order sufficient optimality conditions are derived as well, together with a local uniqueness result for stationary points. The proposed reformulation may be extended to problems in function spaces, leading to MPCC’s with constraints on the gradient of the state. The MPCC reformulation also leads to the efficient use of available large-scale nonlinear programming solvers, as shown in a companion paper, where different imaging applications are studied.

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