Verification and Synthesis of Robust Control Barrier Functions: Multilevel Polynomial Optimization and Semidefinite Relaxation

要約

検証とロバストな制御バリア関数 (CBF) の合成の問題を制御アフィン多項式システムの有界加法不確実性と制御の凸多項式の制約を研究します。
最初に、ロバストな CBF 検証と合成をマルチレベル多項式最適化問題 (POP) として定式化します。ここで、検証は不確実性、制御、状態を 3 つのレベルで最適化し、合成は選択されたパラメトリック CBF 候補のパラメーターをさらに最適化します。
次に、不確実性と制御に対する内部最適化の KKT 条件を呼び出すことにより、検証問題を単一レベル POP として単純化し、合成問題を最小最大 POP に縮小できることを示します。
この削減は、マルチレベルの半正定緩和につながります。
検証問題については、ラセールのモーメント緩和階層を適用します。
合成の問題については、ロバストな最小最大 POP の既存の緩和手法への接続を描画します。この手法では、最初に二乗和計画法を使用して、検証 POP の未知の値関数に対するますます厳しくなる多項式の下限を見つけ、次にラセールの階層を呼び出します。
もう一度下限を最大化します。
どちらの半定緩和も、最適性への漸近的なグローバル収束を保証します。
追加の不確実性がある場合とない場合の両方で、制御されたVan der Pol Oscillatorに関するフレームワークの詳細な研究を提供します。

要約(オリジナル)

We study the problem of verification and synthesis of robust control barrier functions (CBF) for control-affine polynomial systems with bounded additive uncertainty and convex polynomial constraints on the control. We first formulate robust CBF verification and synthesis as multilevel polynomial optimization problems (POP), where verification optimizes — in three levels — the uncertainty, control, and state, while synthesis additionally optimizes the parameter of a chosen parametric CBF candidate. We then show that, by invoking the KKT conditions of the inner optimizations over uncertainty and control, the verification problem can be simplified as a single-level POP and the synthesis problem reduces to a min-max POP. This reduction leads to multilevel semidefinite relaxations. For the verification problem, we apply Lasserre’s hierarchy of moment relaxations. For the synthesis problem, we draw connections to existing relaxation techniques for robust min-max POP, which first use sum-of-squares programming to find increasingly tight polynomial lower bounds to the unknown value function of the verification POP, and then call Lasserre’s hierarchy again to maximize the lower bounds. Both semidefinite relaxations guarantee asymptotic global convergence to optimality. We provide an in-depth study of our framework on the controlled Van der Pol Oscillator, both with and without additive uncertainty.

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