How robust is randomized blind deconvolution via nuclear norm minimization against adversarial noise?

要約

この論文では、一般にブラインドデコンボリューションと呼ばれる、2 つの未知の信号をそれらの畳み込みから復元する問題を研究します。
低ランク回復問題としてのブラインド デコンボリューションの再定式化は、核ノルム最小化ヒューリスティックの成功により、過去 10 年間で複数の理論的回復の保証につながりました。
特に、ノイズがない場合、低次元の部分空間に含まれる十分に一貫性のない信号に対して正確な回復が確立されています。
ただし、畳み込みが付加的な有界ノイズによって破損している場合、回復問題の安定性はあまり理解されていません。
特に、既存の再構成境界には大きな次元要因が含まれているため、核ノルム最小化の次元に依存しないロバスト性の経験的証拠を説明できません。
最近、十分に小さいノイズ レベルでの低ランク行列回復の不適切な動作の理論的証拠が明らかになりました。
この作業では、ノイズ レベルで平方根スケーリングを示す敵対的ノイズを使用したブラインド デコンボリューションの改善された回復保証を開発します。
したがって、私たちの結果は、関連する低ランクのマトリックス回復問題で実証されているように、ノイズレベルの線形スケーリングに反対する既存の反例と一致しています。

要約(オリジナル)

In this paper, we study the problem of recovering two unknown signals from their convolution, which is commonly referred to as blind deconvolution. Reformulation of blind deconvolution as a low-rank recovery problem has led to multiple theoretical recovery guarantees in the past decade due to the success of the nuclear norm minimization heuristic. In particular, in the absence of noise, exact recovery has been established for sufficiently incoherent signals contained in lower-dimensional subspaces. However, if the convolution is corrupted by additive bounded noise, the stability of the recovery problem remains much less understood. In particular, existing reconstruction bounds involve large dimension factors and therefore fail to explain the empirical evidence for dimension-independent robustness of nuclear norm minimization. Recently, theoretical evidence has emerged for ill-posed behavior of low-rank matrix recovery for sufficiently small noise levels. In this work, we develop improved recovery guarantees for blind deconvolution with adversarial noise which exhibit square-root scaling in the noise level. Hence, our results are consistent with existing counterexamples which speak against linear scaling in the noise level as demonstrated for related low-rank matrix recovery problems.

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